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Cette semaine, algèbre linéaire, questions de cours possibles :

Suggestion : les questions de cours peuvent être posées de manière décalée aux différentes élèves de la colle pour qu’ils puissent répondre directement à l’oral , et si possible caméra ouverte (merci de jouer le jeu les élèves) pendant que les autres membres du trinôme cherchent un exercice.

• Une application linéaire est injective ssi son noyau est réduit à 0.
• Pour une application linéaire injective, l’image d’une famille libre est libre.
• Définition des homothéties, et « miracle des homothéties » : si f linéaire envoie tout vecteur sur un vecteur proportionnel alors f est une homothétie, pourquoi est-ce un miracle et version contraposée.
• Déf des projecteurs, caractérisation, parmi les A.L de E dans E, par pop=p
• Déf des symétries, caractérisations parmi les A.L. de E dans E, par so s=id
• Bonus (*) comment déduire le théorème de décomposition paire/impaire pour les fonctions du théorème sur les symétries.
• Notion de préimage d’un sous-ensemble par une application qcq, propriétés pour inter, union etc.
• (Voir ex planche sur cette notion de préimage) et dans le cas linéaire f^{-1}(f(E_1))=E_1+Ker f.
• Déf. de la matrice d’une A.L. entre deux e.v. de dim. finie
• Comment calculer f(u) à partir de la matrice A de f et de la colonne X codant u : expliquer.
• Théorème (ou formule) du rang.
• Donner un exemple d’endomorphisme tel que Ker f + Im f n’est pas égal à E.
• Donner un exemple d’endomorphisme tel que Ker f+ Im f=E et qui n’est pas un projecteur.
• Conséquence du théorème du rang pour les A.L. entre deux e.v. de même dim. finie.

Parmi les exercices, ensuite, on privilégiera d’abord la bonne compréhension concrète de l’écriture matricielle d’une application linéaire en dim. finie : détermination de noyau, image, vecteurs fixes etc…

On a défini le produit d’une matrice rectangulaire par une colonne, mais PAS le produit de matrices en général.

On gardera les exercices plus abstraits sur le théorème du rang pour la semaine de la rentrée quand les élèves auront plus de recul, ou alors en fin de colle pour les plus rapides.

La pl. 39 a été travaillée en classe sauf les ex. 5 et 9. La pl. 40 sera corrigée en début de semaine.

N.B. Revoir aussi la pl. 6 Ex 1,2,3, et 9.

Bon courage à tous pour le confinement.

1. Liste de questions de cours possibles : 

• Théorème de d’Alembert pour les séries : énoncé, revoir la preuve du théorème de d’Alembert pour les suites (avec conclusion avec O(lambda^n)…) et comment il s’applique ici aux séries : comparaison à un terme général de série géométrique.
• Nature des séries de Riemann 
• Détermination d’un équivalent d’une somme partielle de série de Riemann divergente ou d’un reste de série de Riemann convergente (faits sur des alpha particuliers en cours).
• Développement asymptotique H_n=ln(n)+gamma+o(1) (méthode au choix, trois méthodes vues en cours :la troisième est celle donnée par la formule de l’ex. 4. de la planche très utile).
• Formule de Stirling sous la forme n! ~K  n^{n+1/2} e^(-n).
• Bonus (facultatif) : dérouler tout son savoir faire sur Wallis pour déterminer K.
• Théorème de la moyenne de Cesaro. 

Après la question de cours : 

2) MERCI DE POSER UN EXERCICE (même court) de détermination de la nature d’un série à terme positif ou absolument convergente à partir de D.L. ou de comparaison avec des séries de Riemann. Les séries sont une occasion cruciale de renforcement musculaire sur les DL, en faisant éventuellement gonfler les o() en O().

Pour les élèves, notre meilleur ami pour les séries : le O(1/n^2).

3) Pour les élèves, sur le langage,  ON SERA PARTICULIEREMENT SENSIBLE à éviter les « ça converge » ou « ça diverge ».. et autre pronoms personnels  peu clairs.  Si déjà tout le monde a compris la différence entre (u_n) converge et (u_n) est terme général d’une série convergente (nom de guerre T.G.S.C.)  c’est déjà ça, si si !

planche36  plan-sem-22   planche30

Liste de questions de cours possibles :

• Thme de Rolle
• Thme des accroissements finis.
• Bonus si volontaire pour preuve de l’I.A.F. pour les fonctions à valeurs complexes (non exigible sinon).
• Exercice : Rolle à l’infini : choisir votre preuve préférée (trois preuves faites !)
• Exercice  : T.A.F. généralisé à deux fonctions, interprétation géométrique.
• Trois caractérisations du meilleur rapport de Lipschitz (la troisième dans le cas dérivable).
• Définition et caractérisation des difféomorphismes. (bonus si preuve de l’exercice Rolle à l’infini par transport par difféo )
• Thme de Taylor avec R.I
• Thme de Taylor Lagrange (inégalité de Taylor-Lagrange : ATTENTION l’égalité de Taylor-Lagrange n’est pas au programme de classe prépa.)
• Démonstrations à reprendre du début de l’année :
  • Si f dérivable atteint un extremum en un point x_0 INTERIEUR à x_0 alors f'(x_0)=0
  • f dérivable est croissante sur I intervalle ssi f’ positive sur I
  • théorème de la limite de la dérivée

La planche 34 a été entièrement travaillée en classe sauf l’ex.8 qui sera corrigé lundi

La planche 8 est à revoir ! Planche8 Planche34

Notes de cours : plan-sem-21

Planche bonus qui ne sera pas forcément corrigée en classe : Planche35

bonjour

voici le DS de ce matin  avec une solution

bon w.e.

rb

DS6-2020-2021 DS6-2020-2021-sol

La colle ne comprendra pas forcément une question de cours, mais commencera par  un calcul de D.L. nécessitant une COMPOSITION de D.L. La compréhension de cette composition des DL est un objectif MAJEUR  pour cette semaine.

La bonne connaissance des formules du formulaires (dernière page des notes du cours) est également incontournable. Connaître ses formules ce n’est pas forcément répondre du tac au tac, mais par exemple retrouver en une minute les DL de arctan ou même ln(1+x) par intégration de 1->1/(1+x^2) ou 1/(1+x), ou encore penser que ch et sh sont les parties paires resp. impaire de exp. et donc le D.L…., c’est bien !

Le recollement des solutions d’équations différentielles linéaires  singulières (d’ordre 1 ou 2) est aussi à revoir, en mettant en valeur l’utilité des D.L. pour ces recollement.

Question de cours possibles pour les étudiant(e)s plus motivé(e)s par la théorie (bonus sur la note, on peut imaginer au moins  pour un élève par trinôme …):

• Intégration des o( ),
• démonstration de Taylor-Young,
• unicité des D.L., lien avec l’algèbre linéaire,
• exemple de fonction ayant un DL_2 mais pas D^2,
• démonstrations avec les D.L. du théorème sur la dérivée d’une fonction composée.

Des exemples de développements asymptotiques de fonctions ou de suite définies explicitement ont été vus, et donc peuvent être posés,mais MERCI de ne  PAS poser encore d’exercice sur les D.A. de suites définies de manière implicite ou récurrentes : ces types d’exercices seront vus dans une prochaine semaine.

Notes de cours : plan-sem-20

Planche traitée : Planche33

Planche sur les E.D. avec ex  5 et 6 sur le recollement, corrigés :Planche14

 

 

Rebonjour

avec un programme de révision semblable à celui du DS 6 de samedi prochain (bon, avec plus de DL … mais d’ici samedi prochain vous serez très à l’aise en D.L. 🙂

voici le DS 6 d’il y a deux ans, avec un corrigé.

DS6-2018-2019 DS6-2018-2019-sol

Bonjour

une solution du DM 11; je vous l’imprimerai lundi

DM11-2020-2021-sol

bon w.e.

 

Semaine 19 : du lundi 9  mars : fonctions continues d’une variable réelle.

QdC obligatoire : un des théorèmes suivants à démontrer.

• si f et g tendent en un point respectivement vers l et l’ avec l<l’ alors il existe un voisinage de la limite sur lequel f<g
• caractérisation séquentielle de la limite
• théorème de la limite monotone pour les fonctions (soigner l’énoncé)
• T.V.I. version 1 : existence d’un zéro
• T.V.I. version 2 et version 3 l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle
• Soit  f  monotone sur un intervalle I  alors : f est continue sur I ssi f(I) est un intervalle.
• Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
• Pour une fonction continue sur un intervalle : f est injective ssi f est stmt monotone.
• Exemple de fonction continue bijective à réciproque non continue
• Une fonction continue bijective définie sur un intervalle I est un homéomorphisme.
• Théorème de la bijection avec les bornes ouvertes.

La planche suivante a été travaillée en classe sauf les exercices 3) c), 5, 7) et fin du 9) non exigibles,  qui seront corrigés en début de semaine.Planche32

plan-sem-19

Bonsoir

voici une version mise à jour par rapport au poly distribué aujourd’hui (des compléments rajoutés oralement notamment ex. 2,4, 7. La même chose à la page DM.

DM10-planche-29-sol

rb

 

Semaine 18 : du lundi 1er mars : thmes et études pratiques de suites réelles et complexes.

QdC obligatoire :  un des théorèmes  de comparaison ou d’opérations suivant à démontrer.

• Conservation des inégalités larges par passage à la limite
• Gendarmes
• Addition des limites
• Multiplication des limites par une constante
• Multiplication des limites
• Inverse de limite
• Composition des limites.

Pour les exercices : des études pratiques de suites réelles ou complexes :

• u_n=f(n) revoir les calculs de limites du chapitre B2 Planche 11 à revoir avec équivalents et o(). Planche11
• suites définies implicitement
• encadrement de sommes
• suites récurrentes u_{n+1}=f(u_n) (crucial !).

Les suites réc. linéaires d’ordre deux sont aussi à revoir : cf Planche26-5

Les notes de cours complètes :

plan-sem-18

La planche 29 (travaillée pendant les vacances) :Planche29

Les planches bonus pour les élèves, reprises plus tard :

Planche30 Planche31