Révisions et compléments d’algèbre commutative : les élèves doivent connaître parfaitement les définitions des structures de groupes, anneaux, idéaux, corps algèbres et de sous-structure, de morphisme, cela peut faire l’objet d’une question de la colle.
Déf d’un anneau intègre : pourquoi les corps sont ils des anneaux intègres ?
Révision d’arithmétique dans Z et introduction des anneaux Z/nZ : savoir montrer que Z/nZ est un corps ssi n est un nombre premier et plus généralement que la classe de a est inversible dans Z/nZ ssi pgcd(a,n)=1
Théorie des idéaux : thme les idéaux de Z et de K[X] sont principaux (dém dans K[X])
Déf du ppcm et du pgcd avec les idéaux et théorème de Bézout pour n polynômes premiers entre eux dans leurs ensemble. Tout multiple commun est un multiple du PPCM (pourquoi ?).
Evaluation des polynômes en un élément d’une K algèbre : pourquoi c’est un morphisme d’algèbre (cf aussi Banque CCINP ex 65).
Déf du polynôme minimal d’une matrice, d’un endomorphisme : pourquoi il existe toujours pour les matrices et les endo. en dim. finie. Tout polynôme annulateur est un multiple du polynôme minimal.
La dimension de K[A] est égale au degré du polynôme minimal de A.
Caractérisation de l’inversibilité d’une matrice à l’aide de son polynôme minimal. Généralisation P(A) est inversible ssi pgcd(P,mu_A)=1.
On testera les connaissances de première année sur les polynômes et les nombres complexes (les exercices de la banque CCINP cités en tête de planche pourront être inspirants là-dessus). Pour les structures, on restera très très proche des questions de cours (sauf pour les 5/2 ou en fin d’une bonne colle) sur la planche on a fait tous les exercices sauf justement les exercices plus abstraits 3,4,5,6 (faits par les 5/2)
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