Colles de maths sem 23 : lundi 30 mars

Le cours contient les notions suivantes :

  • dérivée partielles
  • dérivée selon un vecteur (lien avec les dérivées partielles) notation D_v f(a)
  • D.L 1 et différentiabilité : notation df(a).(v) ou df(a).v
  • Une fonction différentiable en a est continue en a et admet en a une dérivée suivant tout vecteur  (démo)
  • Beaucoup d’exemples de calculs de différentielle par D.L. 1 : cf planche Ex 4, 5.
  • Fonction de classe C^1 : déf abstraite avec la continuité de df, équivalence admise de cette déf avec le fait que les dérivées partielles existent et sont continues.
  • Beaucoup d’exercices où on montre ce caractère C^1 y compris pour prouver la différentiabilité (sans DL1 du coup) (cf ex 2 ,3 planche)
  • Calculs de la différentielle d’un produit exercice sur les quotient
  • exercice sur la différentielle de M->M^{-1} sur GL_n(R). (deux méthodes)
  • Différentielle d’une composée : formule générale
  • Cas particulier important de (f o c)'(t)=df(c(t)).(c'(t)) pour une courbe.  Application à de nombreux exercices où on se ramène ainsi à une variable cf planche ex 6,7 et
  • Version en coordonnées ; produit des jacobiennes et règle de la chaîne
  • théorème caractérisant les fonctions constantes sur un ouvert connexe par arcs
  • Calcul à l’ordre 2 : déf du caractère C^2 avec les dérivées partielles et thme de Schwarz
  • Déf de la matrice Hessienne et Taylor Young à l’ordre 2 (énoncé sans dém)
  • C.N. de min local en un point d’un ouvert  ; pt critique où la hessienne est sym. positive (démo !)
  • C.S. de min local en un point d’un ouvert  ; pt critique où la hessienne est sym. déf positive (démo !)
  • Exemples d’équations aux dérivées partielles et de changement de variables (et de fonctions inconnues)
  • Vecteurs tangents à une partie d’un evn : l’ensemble T_a X des vecteurs tangents à a à X est un cône vectoriel
  • Théorème admis : en un point régulier a d’une hypersurface d’équation g=0, l’ensemble T_a X est l’hyperplan noyau de dg(a), autrement dit l’orthogonal du gradient en a (Savoir démontrer l’inclusion facile)
  • Théorème d’optimisation sous contrainte  : avec les mêmes hypothèse que dans l’énoncé précédente si f : X -> R admet un extremum en a alors le gradient de f en a est proportionnel au gradient de g en a.

Nous avons fait beaucoup d’exercices : toute la planche D3 Planche-D3-2025-2026  sauf ex 9, 16, 17,18, 20 (certains seront repris en début de semaine). Outre l’importance de vérifier les calculs de différentielles, on s’attachera à l’étude des extremum aussi bien sur les ouverts que sur les ensembles à bords (ex 19 banque CCINP ex 56) ou sur les hypersurfaces (CCINP ex 41) qui  a fait l’objet d’une attention toute particulière.

C’est la dernière colle avant les écrits !

Merci aux personnes ayant assuré les colles !

Rendez vous ensuite pour la préparations aux oraux

 

Colles de maths sem 21 : lundi 9 mars

Tout le programme de MP de probabilité; donc par rapport aux semaines précédentes, on rajoute, espace L^2,  variances, covariances, fonctions génératrices, inégalités de Cauchy-Schwarz,  Markov, Bienaymé Tchebychev, et loi faible des grands nombres ce qui fait autant de questions de cours possibles. Toute la banque CCINP de proba est  encore exigible. Nous avons fait beaucoup d’exercices : les exercices 1 à 10 (sauf 6c et 6d mais on a dénombré les dérangements) et sauf les questions de Python  sur la  Planche-P3-2025-2026 IMPORTANT : il n’y aura pas de colles de maths en sem 22 suivante mais on aura une dernière colle la sem 23 (calcul diff.)

Colles de maths sem 20 : variables aléatoires discrètes

 

Semaine 20 du lundi 9 mars : variables aléatoires discrètes (v.a.d).

Cours traité : 

-Définition d’une v.a.d. savoir démontrer qu’une fonction est bien une v.a.d. par exemple à l’occasion d’un temps d’attente de premier succès (loi géométrique), ou cf ex 4 pl P2. Ou encore savoir montrer que si X est une v.a.d. alors f(X) aussi pour toute fonction f.

– Les cinq lois du programmes B(p), B(n,p), Uniforme sur un ensemble fini, G(p), P(lambda).

-Fonction de répartition : lien avec la loi (théorème de Meriam), calcul pour la loi géométrique. (fonction d’antirépartition).

-Loi de Poisson ; Cv en Loi des B(n,lambda/n) vers P(lambda)

-Révisions sur les lois des couples, lois marginales, lois conditionnelles

-Déf. équivalentes de l’indépendances de v.a.d. (sans dém) citer une version du lemme des coalitions 

Notion de v.a.d. intégrable, définition de l’espérance.

Théorème de transfert (deux cas) (dém non exigible) mais savoir l’appliquer pour montrer qu’une v.a.d. est intégrable ssi E(|X|) est finie

Linéarité de l’espérance (dém non exigible) : penser à l’appliquer en décomposant en sommes d’indicatrices 

Formule de calcul de l’espérance pour les v.a.d à valeurs dans N avec l’antirépartition (savoir dém.)

 

Travail de vacances pour les élèves : travailler tous les exercices de proba de la banque CCINP ex 95 à 112 à l’exception du 99 en laissant de côté les questions sur la variance des v.a.d. non finies (p.ex Ex 100 Q4) mais en revoyant le cours de première année sur la variance des v.a. finie (ex. 98). Notez que les ex. 96 et 110 introduisent la notion de fonction génératrice qu’on reprendra en cours à la rentrée mais ainsi vous aurez déjà travaillé cela pendant les vacances !

Nous avons par ailleurs traité presque toute la planche P2 ci-jointe Planche-P2-2025-2026, sauf les ex 8, 14,15. 

Bonnes vacances : avec ces 17 exos de la banque, cela en fait un peu plus d’un par jour., par exemple au petit déjeuner…

Colles de maths sem 19 : probabilités

Sur la théorie nouvelle en seconde année   : 

  • Définir ce qu’est une tribu et exercice 10 de la planche sur la notion de tribu engendrée. Exemple   du tirage à pile ou face infini : choix de la tribu engendrée par les « faces au n-ième tour »… pourquoi cette  cette tribu contient les singletons…
  • Qu’est-ce qu’une probabilité ? Démontrer la propriété de continuité croissante : on n’a pas détaillé en cours les preuves des égalités ensemblistes lorsqu’on réécrit nos unions comme union disjointe,  elle peuvent être demandées en exercice.
  • Démontrer la sous-additivité dénombrable des probabilités.
  • Dans l’exemple précédent du tirage pile ou face infini, donner un exemple de système quasi-complet d’événements (qui n’est pas « complet »).
  • Exercice 15 planche P1 sur le premier lemme de Borel-Cantelli.

Voici la planche en question : Planche-P1-2025-2026

Sur la pratique : on révisera les notions correspondantes de 1ère année dans les univers finis Nous avons fait tous les exercices de révision de la page 1 de la planche ci-jointe (ex 1 à 8, le 9 sera traité lundi matin).  Nous n’avons pas eu l’occasion de parler de variable aléatoires dans ces exercices, mais bien sûr les élèves pourront se servir de leurs connaissances de 1ère années sur les variables aléatoires finies si cela les aide pour un exercice.

 

Colles maths sem 18 : 09/ 02

Semaine 18 du lundi 9 Février: compacité, connexité et toujours les endomorphismes d’un espace euclidien

Sur la topologie, surtout des questions de cours ou proches du cours :

  • Montrer le théorème de Bolzano-Weierstrass (B.W.) dans C en admettant le résultat dans R.
  • Montrer qu’un compact de E est fermé borné dans E.
  • Montrer qu’un fermé dans un compact est compact.
  • Donner un exemple de fermé borné non compact (aussi exercice 13 banque CCINP sur ce sujet mais penser au cadre préhilbertien aussi).
  • Montrer que l’image continue d’un compact est compacte.
  • Théorème des bornes atteintes pour les fonctions d’un compact dans R.
  • B.W. en dim. finie : les compact d’un e.v.n. de dim. finie sont les fermés bornés.
  • Parties connexes par arc (c.p.a.) de R?
  • Image continue d’un c.p.a.
  • Exercice 16 de la pl T4 : démonstration du théorème de Darboux via la connexité par arcs.

Sur la planche de topo : Planche-T4-2025-2026 nous avons traité les ex 1 à 5 et 13 à 16 pour l’instant.

Ensuite si possible s’il reste du temps un exercice sur les endomorphismes d’un espace euclidien.