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A venir :

Semaine 6 du lundi 2 novembre : séries numériques

Beaucoup de révisions de première année. Notamment on attend une très bonne maîtrise des développements limités et asymptotiques aussi bien avec des o( ) que des O(), sachant que O(1/n^2) et ses frères O(1/n^a) avec a>1 sont nos meilleurs amis.

Donc il serait bon que la colle débute par un exercice sur la nature d’une série où il s’agit essentiellement d’utiliser un développement asymptotique du terme général, soit dans le cadre de la convergence absolue, soit dans le cadre du signe variable.

Outre cela, question de cours possibles

• Déf précise des relations de comparaison o,O,équivalence
• Prop. si la série de t.g. (u_n) converge alors (u_n) tend vers zéro (dém).
• Test de d’Alembert : conclusion d’abord en terme de comparaison à une suite géométrique, et conséquence en terme de séries.
• Méthode d’encadrement par des intégrales, application à la nature des séries puis aux équivalents de sommes partielles de série DIV, de restes de séries CV.
• Théorème de sommation des relations de comparaison, un énoncé très précis est attendu. Dém d’un cas au choix de l’étudiant, dans le cas CV ou DIV au choix de la personne qui interroge.
• Dém. du théorème de Cesaro comme conséquence du théorème précédent.
• Lien suite/série : la suite (u_n) cv ssi la série de t.g. u_{n+1}-u_n Cv. Application au développement asymptotique H_n=ln(n)+gamma+o(1)
• Amélioration de ce qui précède à l’aide du théorème de sommation des relations de comparaison : un terme de plus dans ce dév. asymptotique.
• Problème du regroupement par paquets : paquets d’effectif fixé et terme général tendant vers zéro dans le cas des séries de signe quelconque. Comment retrouver la convergence de la série harmonique alternée.
• En exercice : différentes façons de calculer la somme de la série harmonique alternée.
• Révisions sur les familles sommables :
  • on peut demander la déf. de la sommabilité, dans le cas positif et dans le cas signe qcq ou complexe, et de même pour la déf. de la somme.
  • dans le cas des séries, la sommabilité équivaut à la convergence absolue et les deux notions de sommes coïncident (admis).
  • énoncé du théorème de sommation par paquet, cas positif et cas signe quelconque, expliquer la différence
  • exemples simples de calculs avec ce théorème comme la somme des 1/q^p et des (-1)^p/q^p.
  • Cas des produits de deux sommes et notion de produit de Cauchy.

Sur la planche tous les exercices sauf le 13, 16 et 23 ont été corrigés.

« Quand je danse, je danse. Quand je dors, je dors. Et quand je me promène solitairement en un beau verger, si mes pensées se sont entretenues d’occurrences étrangères … je les ramène à la promenade, au verger, à la douceur de cette solitude, et à moi. » Montaigne, Essais.

Ce post m’a été suggéré par ma propre expérience hier où je corrigeais vos copies en ayant laissé mon téléphone à côté de moi… ce que je ne fais pas d’habitude… et bien sûr l’appareil a gagné plus d’attention que vos copies, bref je n’ai pas beaucoup avancé.

Ainsi, pour paraphraser le grand Michel, « Quand je travaille, je travaille, et quand je fais du téléphone, je fais du téléphone » mais pas les deux à la fois.

Donc pour vos vacances et pour la suite de l’année, ou même de votre vie active, pensez-y : ne travaillez pas avec votre tél à côté, trouvez un endroit pour le poser, un endroit consacré dans une pièce à côté. Si vous travaillez sur une tablette, désactivez toutes les notifications pendant votre temps de travail. Pour bien que la transition entre vos activités soient franche. Votre cerveau vous dira merci.

J’ajouterais même, pour faire plus vacances, et pour revenir au dernier exemple de Montaigne « quand je me promène dans la nature, je désactive aussi mon téléphone (sauf de manière fugace pour chercher mon chemin ou les noms des plantes éventuellement :-), bref je respire . »

Respirez bien, travaillez bien, et ne lisez ce post (ou au moins les suivants) qu’aux horaires que vous aurez dédiés aux activités connectées 🙂

rb

Les deux liens de répertoires de vidéo sont disponibles sur la page Plan de cours. N’hésitez pas à poser des questions si besoins !

Normalement le site est à jour pour les corrigés de DM/DS ainsi que tous les documents de cours/planches, mais dites moi s’il vous manque quelque chose .

Sur la page plan de cours et compléments divers, vous trouverez les liens vers les vidéo de solutions des exercices de la planche S1 que nous n’avons pas eu le temps de traiter avec les photos des textes des solutions. Merci de télécharger ces vidéo d’ici le milieu des vacances et de les enregistrer chez vous car j’aurai probablement besoin de place pour vous mettre d’autres choses.

Vous trouverez aussi la planche d’Halloween sur les calculs d’intégrales monstrueuses … avec des solutions succinctes (sûrement incomplètes, n’hésitez pas à me solliciter).

A venir encore, le cours sur les familles sommables et les exercices s’y rapportant.

Profitez bien d’un bon w.e. de 3 jours tranquilles mais reprise du travail régulier dès mardi !

r.b.

un message de votre professeure de français-philo : bonjour voici un lien vers le texte intégral des oeuvres en format numérique, utile pour la recherche de citations.

C’est ici

Sur la page DS et ici

La nouvelle version de cette banque d’exercices : pas de nouveaux exercices a priori les modifications sont données au début du fichier de corrigés.

Ces fichiers sont aussi accessibles depuis la page ‘Pratique’.

Réduction des endomorphismes (fin)

Cette semaine, en plus, on trigonalise, y compris avec la trigonalisation précisée donnée par la décomposition sur les sous-espaces caractéristiques. Bien sûr, on continue aussi à diagonaliser quand c’est possible, ou à faire d’autres réductions…

Questions de cours :

• Un endomorphisme est trigonalisable ssi il est annulé par un polynôme scindé (dém par réc. sur la dimension, en trouvant un hyperplan stable)
• Formule sur les Tr(A^k) en fonction des valeurs propres.
• Méthodes de trigonalisations concrètes pour les matrices 3×3 (en cours et pour aller plus loin ex2 planche)
• Pourquoi les endomorphismes nilpotents sont toujours trigonalisables, sur tous les corps.
• Définition des sous-espaces caractéristiques et théorème de décomposition sur les sous-espaces caractéristiques.
• Application (ex 15) au problème de la recherche d’une racine carrée dans M_n(C) pour une matrice inversible.

Sur la planche, on a traités tous les exercices sauf les numéros : 9,10,12, 14.

Réduction des endomorphismes (suite)

Au programme précédent, on rajoute des connaissances plus précises sur le polynôme caractéristique.

Déf du polynôme caractéristique d’une matrice : pourquoi est-ce bien un polynôme, partie connue X^n- Tr(A) X^{n-1}+.. +(-1)^n det(A) (dém.)

(En taille 3×3 on pourra utiliser la formule complète même si pas au programme).

Prop-déf. du polynôme caractéristique d’un endomorphisme (que faut-il prouver ?)

Si F est un s.e.v stable par l’endomorphisme L alors chi_{L_F} divise chi_L (dém)

Déf de la multiplicité algébrique et de la multiplicité géométrique d’une v.p. : inégalité entre ces deux multiplicités (dém-

Calcul du polynôme caractéristique d’une matrice compagnon

Calcul du polynôme minimal d’une matrice compagnon (bonus non exigible pour tous)

CNS de dz avec le polynôme caractéristique (dém. non demandée)

Thme de Cayley-Hamilton, énoncé et conséquences sur les écritures scindées dans C de chi_A et mu_A.

Sur la planche R2, on a traité les exercices 2 à 9.