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Sur la page DS et ici

La nouvelle version de cette banque d’exercices : pas de nouveaux exercices a priori les modifications sont données au début du fichier de corrigés.

Ces fichiers sont aussi accessibles depuis la page ‘Pratique’.

Réduction des endomorphismes (fin)

Cette semaine, en plus, on trigonalise, y compris avec la trigonalisation précisée donnée par la décomposition sur les sous-espaces caractéristiques. Bien sûr, on continue aussi à diagonaliser quand c’est possible, ou à faire d’autres réductions…

Questions de cours :

• Un endomorphisme est trigonalisable ssi il est annulé par un polynôme scindé (dém par réc. sur la dimension, en trouvant un hyperplan stable)
• Formule sur les Tr(A^k) en fonction des valeurs propres.
• Méthodes de trigonalisations concrètes pour les matrices 3×3 (en cours et pour aller plus loin ex2 planche)
• Pourquoi les endomorphismes nilpotents sont toujours trigonalisables, sur tous les corps.
• Définition des sous-espaces caractéristiques et théorème de décomposition sur les sous-espaces caractéristiques.
• Application (ex 15) au problème de la recherche d’une racine carrée dans M_n(C) pour une matrice inversible.

Sur la planche, on a traités tous les exercices sauf les numéros : 9,10,12, 14.

Réduction des endomorphismes (suite)

Au programme précédent, on rajoute des connaissances plus précises sur le polynôme caractéristique.

Déf du polynôme caractéristique d’une matrice : pourquoi est-ce bien un polynôme, partie connue X^n- Tr(A) X^{n-1}+.. +(-1)^n det(A) (dém.)

(En taille 3×3 on pourra utiliser la formule complète même si pas au programme).

Prop-déf. du polynôme caractéristique d’un endomorphisme (que faut-il prouver ?)

Si F est un s.e.v stable par l’endomorphisme L alors chi_{L_F} divise chi_L (dém)

Déf de la multiplicité algébrique et de la multiplicité géométrique d’une v.p. : inégalité entre ces deux multiplicités (dém-

Calcul du polynôme caractéristique d’une matrice compagnon

Calcul du polynôme minimal d’une matrice compagnon (bonus non exigible pour tous)

CNS de dz avec le polynôme caractéristique (dém. non demandée)

Thme de Cayley-Hamilton, énoncé et conséquences sur les écritures scindées dans C de chi_A et mu_A.

Sur la planche R2, on a traité les exercices 2 à 9.

Réduction des endomorphismes, début

Questions de cours :

-révision sur la classification des matrices pour la relation « d’équivalence »
-déf. des valeurs propres (deux déf. équivalentes), vecteurs propres, sev propre
-prop : les sev propres associés à des vp distinctes sont en somme directe (dém).
-Déf d’un endomorphisme diagonalisable : plusieurs formulations équivalentes
-Si L admet n v.p. distinctes dans un espace de dim. n alors L est dz (dém)
-Si v est un vecteur propre de l’endomorphisme L pour la v.p. lambda, alors c’est aussi un vecteur propre de P(L) pour la v.p. P(lambda) (dém) corollaire : si P annule L alors Sp(L) est inclus dans Z(P).

-Théorème (précise le résultat précédent) : Sp(L)=Z(mu_L) (dém).

-Théorème des noyaux (dém bonus en première semaine, sera exigible en seconde semaine).

-La restriction d’un endo. dz a un sev stable est dz.

Pour la diagonalisation pratique :
– sur une matrice simple on peut chercher les v.p. à l’aide de la condition det(A-lambda I)=0 (mais ce n’est pas forcément la meilleure méthode).

– sur les autres exemples vus on étudie l’équation aux v.p. : on cherche les lambda pour lesquels il existe un v non nul tel que f(v)=lambda v
– un autre point de vue est la recherche d’un polynôme annulateur.

Nous avons déjà fait pas mal d’exercices : pl. R1 ex 1,2,3, 7,8, 9 à 16 (mais le 16 long n’est pas exigible) et 20 à 23 sur les polynômes annulateurs.

Pas d’exercice de la banque CCINP cette semaine.

bonne semaine

rb

Révisions et compléments d’algèbre commutative : les élèves doivent connaître parfaitement les définitions des structures de groupes, anneaux, idéaux, corps algèbres et de sous-structure, de morphisme, cela peut faire l’objet d’une question de la colle.

Déf d’un anneau intègre : pourquoi les corps sont ils des anneaux intègres ?

Révision d’arithmétique dans Z et introduction des anneaux Z/nZ : savoir montrer que Z/nZ est un corps ssi n est un nombre premier et plus généralement que la classe de a est inversible dans Z/nZ ssi pgcd(a,n)=1

Théorie des idéaux : thme les idéaux de Z et de K[X] sont principaux (dém dans K[X])

Déf du ppcm et du pgcd avec les idéaux et théorème de Bézout pour n polynômes premiers entre eux dans leurs ensemble. Tout multiple commun est un multiple du PPCM (pourquoi ?).

Evaluation des polynômes en un élément d’une K algèbre : pourquoi c’est un morphisme d’algèbre (cf aussi Banque CCINP ex 65).

Déf du polynôme minimal d’une matrice, d’un endomorphisme : pourquoi il existe toujours pour les matrices et les endo. en dim. finie. Tout polynôme annulateur est un multiple du polynôme minimal.

La dimension de K[A] est égale au degré du polynôme minimal de A.

Caractérisation de l’inversibilité d’une matrice à l’aide de son polynôme minimal. Généralisation P(A) est inversible ssi pgcd(P,mu_A)=1.

On testera les connaissances de première année sur les polynômes et les nombres complexes (les exercices de la banque CCINP cités en tête de planche pourront être inspirants là-dessus). Pour les structures, on restera très très proche des questions de cours (sauf pour les 5/2 ou en fin d’une bonne colle) sur la planche on a fait tous les exercices sauf justement les exercices plus abstraits 3,4,5,6 (faits par les 5/2)

Les colles commencent par une ‘question connue’ : question de cours ou exercice de la planche ou exercice de la banque CCINP. Bonne année de colles !

Semaine 1 du lundi 14 septembre : révisions d’algèbre linéaire et complément sur les sommes directes de plusieurs s.e.v., les matrices par blocs, les déterminants par blocs. Nous avons fait beaucoup d’exercices de la planche suivante, ne pas hésiter à reposer des exercices de cette planche (ou très proches) pour en tester la compréhension. On peut aussi poser les exercices de la banque CCINP indiqués en haut de planche.

Exercices non traités en classe : 4,6,7,9,13,15,18,23,27,29.

Contenu du cours :

• Somme directe de plusieurs s.e.v.: définitions, différentes caractérisations (en donner le plus possible, savoir démontrer celle qu’on nous demande…)

• Matrices par blocs : produits, opérations élémentaires sur les blocs, formule du déterminant d’une matrice triangulaire par bloc (deux démonstrations, savoir faire la plus facile :-).
• Déterminant de Vandermonde, calcul, lien avec l’interpolation de Lagrange.

Sur la page plan du cours, les poly de cours jusqu’à la Toussaint ou presque..

Sur la page programme de colles, la planche de cette semaine

Sur la page DM, une solution du DM1 et l’énoncé du DM2

Sur la page pratique : le planning des DS … avant l’arrivée du colloscope la semaine prochaine

bonne fin de semaine

rb