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Tout le programme de MP de probabilité; donc par rapport aux semaines précédentes, on rajoute, espace L^2,  variances, covariances, fonctions génératrices, inégalités de Cauchy-Schwarz,  Markov, Bienaymé Tchebychev, et loi faible des grands nombres ce qui fait autant de questions de cours possibles. Toute la banque CCINP de proba est  encore exigible. Nous avons fait beaucoup d’exercices : les exercices 1 à 10 (sauf 6c et 6d mais on a dénombré les dérangements) et sauf les questions de Python  sur la  Planche-P3-2025-2026 IMPORTANT : il n’y aura pas de colles de maths en sem 22 suivante mais on aura une dernière colle la sem 23 (calcul diff.)

 

Semaine 20 du lundi 9 mars : variables aléatoires discrètes (v.a.d).

Cours traité : 

-Définition d’une v.a.d. savoir démontrer qu’une fonction est bien une v.a.d. par exemple à l’occasion d’un temps d’attente de premier succès (loi géométrique), ou cf ex 4 pl P2. Ou encore savoir montrer que si X est une v.a.d. alors f(X) aussi pour toute fonction f.

– Les cinq lois du programmes B(p), B(n,p), Uniforme sur un ensemble fini, G(p), P(lambda).

-Fonction de répartition : lien avec la loi (théorème de Meriam), calcul pour la loi géométrique. (fonction d’antirépartition).

-Loi de Poisson ; Cv en Loi des B(n,lambda/n) vers P(lambda)

-Révisions sur les lois des couples, lois marginales, lois conditionnelles

-Déf. équivalentes de l’indépendances de v.a.d. (sans dém) citer une version du lemme des coalitions 

Notion de v.a.d. intégrable, définition de l’espérance.

Théorème de transfert (deux cas) (dém non exigible) mais savoir l’appliquer pour montrer qu’une v.a.d. est intégrable ssi E(|X|) est finie

Linéarité de l’espérance (dém non exigible) : penser à l’appliquer en décomposant en sommes d’indicatrices 

Formule de calcul de l’espérance pour les v.a.d à valeurs dans N avec l’antirépartition (savoir dém.)

 

Travail de vacances pour les élèves : travailler tous les exercices de proba de la banque CCINP ex 95 à 112 à l’exception du 99 en laissant de côté les questions sur la variance des v.a.d. non finies (p.ex Ex 100 Q4) mais en revoyant le cours de première année sur la variance des v.a. finie (ex. 98). Notez que les ex. 96 et 110 introduisent la notion de fonction génératrice qu’on reprendra en cours à la rentrée mais ainsi vous aurez déjà travaillé cela pendant les vacances !

Nous avons par ailleurs traité presque toute la planche P2 ci-jointe Planche-P2-2025-2026, sauf les ex 8, 14,15. 

Bonnes vacances : avec ces 17 exos de la banque, cela en fait un peu plus d’un par jour., par exemple au petit déjeuner…

Sur la théorie nouvelle en seconde année   : 

• Définir ce qu’est une tribu et exercice 10 de la planche sur la notion de tribu engendrée. Exemple   du tirage à pile ou face infini : choix de la tribu engendrée par les « faces au n-ième tour »… pourquoi cette  cette tribu contient les singletons…
• Qu’est-ce qu’une probabilité ? Démontrer la propriété de continuité croissante : on n’a pas détaillé en cours les preuves des égalités ensemblistes lorsqu’on réécrit nos unions comme union disjointe,  elle peuvent être demandées en exercice.
• Démontrer la sous-additivité dénombrable des probabilités.
• Dans l’exemple précédent du tirage pile ou face infini, donner un exemple de système quasi-complet d’événements (qui n’est pas « complet »).
• Exercice 15 planche P1 sur le premier lemme de Borel-Cantelli.

Voici la planche en question : Planche-P1-2025-2026

Sur la pratique : on révisera les notions correspondantes de 1ère année dans les univers finis Nous avons fait tous les exercices de révision de la page 1 de la planche ci-jointe (ex 1 à 8, le 9 sera traité lundi matin).  Nous n’avons pas eu l’occasion de parler de variable aléatoires dans ces exercices, mais bien sûr les élèves pourront se servir de leurs connaissances de 1ère années sur les variables aléatoires finies si cela les aide pour un exercice.

 

Semaine 18 du lundi 9 Février: compacité, connexité et toujours les endomorphismes d’un espace euclidien

Sur la topologie, surtout des questions de cours ou proches du cours :

• Montrer le théorème de Bolzano-Weierstrass (B.W.) dans C en admettant le résultat dans R.
• Montrer qu’un compact de E est fermé borné dans E.
• Montrer qu’un fermé dans un compact est compact.
• Donner un exemple de fermé borné non compact (aussi exercice 13 banque CCINP sur ce sujet mais penser au cadre préhilbertien aussi).
• Montrer que l’image continue d’un compact est compacte.
• Théorème des bornes atteintes pour les fonctions d’un compact dans R.
• B.W. en dim. finie : les compact d’un e.v.n. de dim. finie sont les fermés bornés.
• Parties connexes par arc (c.p.a.) de R?
• Image continue d’un c.p.a.
• Exercice 16 de la pl T4 : démonstration du théorème de Darboux via la connexité par arcs.

Sur la planche de topo : Planche-T4-2025-2026 nous avons traité les ex 1 à 5 et 13 à 16 pour l’instant.

Ensuite si possible s’il reste du temps un exercice sur les endomorphismes d’un espace euclidien.

Semaine 17 du lundi 2 Février : endomorphismes d’un espace euclidien 

Un cours très riche qui demande un travail en profondeur :

• Définition de l’adjoint (thme-déf, il y a quelque chose à démontrer !) écriture matricielle en b.o.n.
• Si F est un s.e.v. stable par u alors son orthogonal est stable par u*.
• Donner le plus de caractérisations possibles des isométries vectorielles avec dém de l’une d’elles au choix des colleurs..
• Donner le plus de caractérisations possibles des matrices orthogonales : attention déterminant =+- 1 n’est PAS une caractérisation de ces matrices !
• Montrer qu’une matrice orthogonale symétrique est une matrice de symétrie orthogonale et montrer que vous avez compris ce que chaque terme de cette phrase veut dire….
• Théorème spectral sur les  endomorphismes auto adjoints : preuve par récurrence sur la dimension (sans prouver tous les lemmes utilisés ou démo au choix parmi ces lemmes).
• Pour f dans L(E),  forme bilinéaire associée (x,y)-> (x|f(y)). Par définition  f est auto adjoint ssi cette forme bilinéaire est symétrique f et forme quadratique associée x-> (x|f(x)). Ecriture de ces deux objets en coordonnée dans une b.o.n. quelconque.
• Ecriture de la forme quadratique x-> (f(x)|x) dans une b.o.n. de dz. de f auto adjoint , application à une caractérisation de la plus grande et de la plus petite v.p. de f.
• Définition des autoadjoints positifs (resp. matrices symétriques positives) et caractérisation par le spectre.
• Démonstration matricielle de la forme de matrices de O_2(R)
• Théorème de réduction des isométries vectorielles en dimension n : idées de la preuve en admettant les lemmes clefs (tous assez simples à montrer par ailleursn pas besoin de formaliser la récurrence pour les blocs de rotation)

Sur la  Planche-R4-2025-2026 nous avons travaillé les exercices 1 à 13 sauf le 2 et le 12.

 

La colle du jeudi de M. Perrissin passe le vendredi à 17h. Son autre colle du vendredi à 16h est inchangée. En cas de changement de salle, je vous préviendrai.
Le nouveau colloscope est colloscope-2025-v12

Equations différentielles linéaires.

 Sur la théorie : 

• Justifier que pour X'(t)=A.X(t) avec A matrice indép. de t, les solutions sont les fonctions t->e^{tA} C.
• Généralisation du point précédent : forme des solutions pour X'(t)=A.X(t)+B(t) avec une intégrale.
• Enoncé précis du théorème de Cauchy Lipschitz linéaire pour les systèmes X'(t)=A(t)X(t)+B(t), conséquences pour la structure de l’ensemble des solutions dans les cas homogène et non homogène.
• Traduction du théorème dans le cas des EDL scalaires d’ordre n (vectorialisation).
• Définition du Wronskien de deux solutions d’une EDL scalaire d’ordre 2, et E.D. vérifiée par celui-ci
• Méthode de variations des constantes seulement dans le cas d’ordre au plus 2.

Pour les exercices, le premier objectif à notre niveau est la maîtrise des techniques de calculs. Il serait donc souhaitable   de traiter  une question « calculatoire » d’un des type suivant :

• Résolution d’un système linéaire X'(t)=A.X(t) avec A matrice constante 2×2 ou 3×3:
  • Cas où A est diagonalisable dans R
  • Cas où A est diagonalisable dans C et qu’on veut des solutions réelles
  • Cas où A est seulement trigonalisable : on a donné deux méthodes
    •  la méthode d’une simple trigonalisation suivie d’une résolution « de bas en haut » par substitution,
    • le calcul de exp(tT) dans le cas simple où T=lambda I+ N autrement dit T n’a qu’une seule v.p. (ceci se généralise par bloc avec les sev caractéristiques mais on n’a pas traité d’autres exemples).
    • Résolution d’équations différentielles linéaires scalaires d’ordre deux :
      • Méthodes de première année : déjà révisées la semaine dernière, toujours d’actualité
    • Méthode de la variation Des constantes pour les ED d’ordre deux :  à bien maîtriser.
    • Quand on ne connaît pas de solutions de l’équation homogène : exemple de recherche des solutions D.S.E. (pratique à bien maîtriser !)
    • Quand on connaît une solution de l’équation homogène et qu’on en vu une autre indépendante, technique de la réduction de l’ordre par variation de la constante.

Sur la Planche-D2-2025-2026, on a traité en classe les exercices calculatoire de 1 à 6. Pour toutes ces techniques les élèves trouveront à s’exercer  aussi avec les exercices de la banque CCINP marqués en haut de planche.

En début de semaine, on traitera aussi de méthodes qualitatives, donc pour les colles de mercredi et jeudi les élèves seront plus à même de traiter aussi des exercices un peu plus qualitatifs. 

Semaine 15, lundi 19 janvier 2026 : dérivation et intégration des fonctions d’une variable réelle, à valeurs vectorielles ET révisions sur les équations différentielles.

Nous avons traités les exercices 1 à 5 et 8 à 15 sauf les 10 et 14 de la Planche-D1-2025-2026 jointe, ce qui donne une idée assez précise du programme de la semaine

Dans l’idéal on pourra essayer d’aborder les deux thématiques avec deux exercices (dont l’un forcément plus court, qui peut être une Question de Cours !), les voici détaillées :

• la dérivation et l’intégration des fonctions d’une variable réelle à valeurs vectorielles,  questions de cours possibles 
  • • • • Trois définitions équivalentes de la dérivabilité pour f : I -> E (dém. non demandée)
        • Dérivée de L o f si f est dérivable de I dans E et L est linéaire de E dans F (dém.)
        • Dérivée de B(f,g) si f (resp. g) sont dérivables de I dans E  (resp. dans F) et B : E x F-> G est bilinéaire (dém.)
        • Extension du point précédent aux applications n-linéaires (typiquement déterminant) (pas de dém. juste la formule)
        • T.A.F. généralisé à deux fonctions  » f'(c) (g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a)) » démonstration vectorielle
        • Dérivation de t-> exp(tA) par théorème de dérivation terme à terme à valeurs vectorielles (dém non détaillée mais à travailler !).
        • Inégalité triangulaire pour les intégrales de fonctions vectorielles (démonstration avec les sommes de Riemann)  et application à l’I.A.F. dans l’hypothèse C^1.
        • Pourquoi le théorème de Rolle (et donc l’égalité des A.F.) sont ils faux dans le cas des fonctions à valeurs vectorielles non scalaires?
        • Formules de Taylor à savoir parfaitement : DU SOIN POUR l’énoncé des théorèmes !  Pas juste la formule mais hypothèses de régularités précises.
• Les révisions sur les équations différentielles de première année :
  • • • résolution concrète d’E.D.linéaires du premier ordre avec la méthode de variation de la constante : les exercices 8,9,10 abordent les problèmes de raccords pour les équations différentielles singulières, c’est l’occasion aussi de révision sur les développement limités pour les raccords et bien sûr des calculs de primitives !
      • des exercices plus théoriques sur le 1er ordre où l’on voit que la M.V.C. permet une écriture plus abstraite des solutions, qui aboutit à des propriétés précises de ces solutions.
      • enfin des EDL du second ordre à coefficient constant avec second membres gentils : polynôme x exponentielle x cos ou sin. On a révisé les cas de résonance où la solution particulière n’est pas de la même forme que le second membre car celui ci correspond déjà au régime libre.

Bonne semaine !

rb

 Intégrales à paramètres

Pour ce qui est des trois  théorèmes du cours   :

• version à variable continue du théorème de convergence dominée,
• théorème de continuité pour les intégrales à paramètres
• théorème sur le caractère C^k (resp. C^infini)  des intégrales à paramètres

je cite le programme officiel :

« Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de régularité par rapport à x et de domination, sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux par rapport à t »

On a choisi pourtant  des les expliciter par prudence par rapport aux personnes examinatrices… en hypothèse (H0) un peu triviale.

Le cours est fait autour de trois fils rouges : transformée de Laplace, transformée de Fourier et fonction Gamma.  Les exemples faits qui sont tous des exercice à savoir refaire (pas des résultats du programme) sont les suivants :

• Continuité de la TF (transformée de Fourier) d’une fonction intégrable
• Continuité sur ]0,+oo[ de la TL (transformée de Laplace) d’une fonction c.p.m.  bornée, extension à la variable complexe.
• Théorème de la valeur initiale pour la transformée de Laplace dans le cas facile d’une fonction bornée : L(f)(x)=f(0)/x+ o(1/x) quand x–>+oo.
• Lemme de Riemann-Lebesgue dans le cas facile où f est de classe C^1 et f et f’ sont intégrables :  F(f)(x) –>0 pour x–>+oo
• Caractère C^1 et dérivation de la TL du sinus cardinal sur l’ouvert ]0,+oo[ : application au calcul de cette Transformée.
• En bonus pour les plus à l’aise, continuité de cette TL en 0 (intégrale semi-convergente, I.P.P pour se ramener au cadre de Lebesgue) et calcul de l’intégrale du sinus cardinal sur R¨^+.
• Calcul de la dérivée p-ième de la TF d’une fonction f  telle que pour tout k=0,1,..p, la fonction t-> t^k f(t) doit intégrable. (Si ceci est vrai pour tout p, on dit que la fonction est « à décroissance rapide »).
• Etude complète de la fonction Gamma : notamment justification soigneuse du caractère C^k et justifications pour le tracé du graphe.
• REVOIR les techniques de calculs d’intégrales et de primitives (1ère année, planche I1).
• Bien savoir aussi dériver si x est dans les bornes des intégrales (1ère année… et pas que..)

Sur la Planche-I3-2025-2026, on a traité les exercices 1,2,3, 5. Ne pas négliger les trois exercices de la banque CCINP.

Bonjour, suite à des questions légitimes sur le DM 9 (ce message sera peut-être complété au fur et à mesure de vos remarques) voici qq points :

• les questions 11 et 12 portent sur les limites respectivement la continuité d’une fonction dans la variable est à l’intérieur d’une intégrale : on parlera ‘d’intégrale à paramètre’, c’est exactement le thème du chapitre I3 que nous étudierons à la rentrée.
• En fait pour la Q11 l’énoncé propose une méthode par encadrement qui n’utilise aucun théorème (alternative : un TCD et un critère séquentiel )
• La Q12 pour la continuité utilise l’avatar « continu » du T.C.D. de Lebesgue qui se démontre à partir de celui que nous connaissons par critère séquentiel mais vous pouvez tout simplement ne pas traiter cette question 12 pour l’instant !
• Par ailleurs il y a au moins une petite erreur d’énoncé c’est instructif !

Remarque : ce DM est long, faites le par petits morceaux … certaines parties sont plus difficiles ou techniques, mais il fait réviser pas mal de choses du programme d’analyse; c’est très complémentaire au DS 4 qui portait beaucoup moins sur les théorèmes de deuxième année et faisait pas mal réviser des choses vues en 1ère année, ici on utilise tous les théorèmes !