Colles de maths sem 7 : lundi 9/11

Semaine 7 du lundi 9 novembre : intégrales généralisées

On évaluera avant tout la pratique, étude de l’intégrabilité avec les relations de comparaisons et calculs de primitives.

Détails sur le cours :

Révisions sur les techniques de calcul d’intégrales vues en première années.

Convergence/divergence d’intégrales généralisées, convergence absolue.

Notion de fonction intégrable au sens de Lebesgue (c.p.m. d’intégrale absolument convergente).

Exemple de fonction intégrable au voisinage de + l’infini, qui ne tend pas vers zéro (peigne ou stégosaure). En revanche, si f admet une limite en + l’infini et l’intégrale de f converge alors cette limite est nulle.

Thme de comparaison pour l’intégrabilité.

Exemple des intégrales de sin(t)/t^a avec a inférieur ou égal à 1

-Méthode de l’I.P.P. pour montrer la convergence de l’intégrale.

-Méthode des séries pour montrer que l’intégrale n’est pas absolument convergente.

Thme pour l’IPP et le changement de var. dans les intégrales généralisées.

Thme d’intégration des relations de comparaison.

Sur la planche on a traité les ex 1,2,3,5 et en partie ex. 6 et 9. Des solutions seront données pour les autres exercices.

Planche-I1-2026-2027

Penser aussi aux exercices de la banque INP marqués en haut de planche.

Bonne semaine.

Colles de maths sem 6 : lundi 2/11

A venir :

Semaine 6 du lundi 2 novembre : séries numériques

Beaucoup de révisions de première année. Notamment on attend une très bonne maîtrise des développements limités et asymptotiques aussi bien avec des o( ) que des O(), sachant que O(1/n^2) et ses frères O(1/n^a) avec a>1 sont nos meilleurs amis.

Donc il serait bon que la colle débute par un exercice sur la nature d’une série où il s’agit essentiellement d’utiliser un développement asymptotique du terme général, soit dans le cadre de la convergence absolue, soit dans le cadre du signe variable.

Outre cela, question de cours possibles

  • Déf précise des relations de comparaison o,O,équivalence
  • Prop. si la série de t.g. (u_n) converge alors (u_n) tend vers zéro (dém).
  • Test de d’Alembert : conclusion d’abord en terme de comparaison à une suite géométrique, et conséquence en terme de séries.
  • Méthode d’encadrement par des intégrales, application à la nature des séries puis aux équivalents de sommes partielles de série DIV, de restes de séries CV.
  • Théorème de sommation des relations de comparaison, un énoncé très précis est attendu. Dém d’un cas au choix de l’étudiant, dans le cas CV ou DIV au choix de la personne qui interroge.
  • Dém. du théorème de Cesaro comme conséquence du théorème précédent.
  • Lien suite/série : la suite (u_n) cv ssi la série de t.g. u_{n+1}-u_n Cv. Application au développement asymptotique H_n=ln(n)+gamma+o(1)
  • Amélioration de ce qui précède à l’aide du théorème de sommation des relations de comparaison : un terme de plus dans ce dév. asymptotique.
  • Problème du regroupement par paquets : paquets d’effectif fixé et terme général tendant vers zéro dans le cas des séries de signe quelconque. Comment retrouver la convergence de la série harmonique alternée.
  • En exercice : différentes façons de calculer la somme de la série harmonique alternée.
  • Révisions sur les familles sommables :
    • on peut demander la déf. de la sommabilité, dans le cas positif et dans le cas signe qcq ou complexe, et de même pour la déf. de la somme.
    • dans le cas des séries, la sommabilité équivaut à la convergence absolue et les deux notions de sommes coïncident (admis).
    • énoncé du théorème de sommation par paquet, cas positif et cas signe quelconque, expliquer la différence
    • exemples simples de calculs avec ce théorème comme la somme des 1/q^p et des (-1)^p/q^p.
    • Cas des produits de deux sommes et notion de produit de Cauchy.

Sur la planche tous les exercices sauf le 13, 15, 16 et 23 ont été corrigés.

Planche-S1-2026-2027

L’économie de l’attention

« Quand je danse, je danse. Quand je dors, je dors. Et quand je me promène solitairement en un beau verger, si mes pensées se sont entretenues d’occurrences étrangères … je les ramène à la promenade, au verger, à la douceur de cette solitude, et à moi. » Montaigne, Essais.

Ce post m’a été suggéré par ma propre expérience hier où je corrigeais vos copies en ayant laissé mon téléphone à côté de moi… ce que je ne fais pas d’habitude… et bien sûr l’appareil a gagné plus d’attention que vos copies, bref je n’ai pas beaucoup avancé.

Ainsi, pour paraphraser le grand Michel, « Quand je travaille, je travaille, et quand je fais du téléphone, je fais du téléphone » mais pas les deux à la fois.

Donc pour vos vacances et pour la suite de l’année, ou même de votre vie active, pensez-y : ne travaillez pas avec votre tél à côté, trouvez un endroit pour le poser, un endroit consacré dans une pièce à côté. Si vous travaillez sur une tablette, désactivez toutes les notifications pendant votre temps de travail. Pour bien que la transition entre vos activités soient franche. Votre cerveau vous dira merci.

J’ajouterais même, pour faire plus vacances, et pour revenir au dernier exemple de Montaigne « quand je me promène dans la nature, je désactive aussi mon téléphone (sauf de manière fugace pour chercher mon chemin ou les noms des plantes éventuellement :-), bref je respire . »

Respirez bien, travaillez bien, et ne lisez ce post (ou au moins les suivants) qu’aux horaires que vous aurez dédiés aux activités connectées 🙂

rb

Ressources pour ces vacances :

Normalement le site est à jour pour les corrigés de DM/DS ainsi que tous les documents de cours/planches, mais dites moi s’il vous manque quelque chose .

Sur la page plan de cours et compléments divers, vous trouverez les liens vers les vidéo de solutions des exercices de la planche S1 que nous n’avons pas eu le temps de traiter avec les photos des textes des solutions. Merci de télécharger ces vidéo d’ici le milieu des vacances et de les enregistrer chez vous car j’aurai probablement besoin de place pour vous mettre d’autres choses.

Vous trouverez aussi la planche d’Halloween sur les calculs d’intégrales monstrueuses … avec des solutions succinctes (sûrement incomplètes, n’hésitez pas à me solliciter).

A venir encore, le cours sur les familles sommables et les exercices s’y rapportant.

Profitez bien d’un bon w.e. de 3 jours tranquilles mais reprise du travail régulier dès mardi !

r.b.