Colles de maths sem 23 : lundi 30 mars

Le cours contient les notions suivantes :

  • dérivée partielles
  • dérivée selon un vecteur (lien avec les dérivées partielles) notation D_v f(a)
  • D.L 1 et différentiabilité : notation df(a).(v) ou df(a).v
  • Une fonction différentiable en a est continue en a et admet en a une dérivée suivant tout vecteur  (démo)
  • Beaucoup d’exemples de calculs de différentielle par D.L. 1 : cf planche Ex 4, 5.
  • Fonction de classe C^1 : déf abstraite avec la continuité de df, équivalence admise de cette déf avec le fait que les dérivées partielles existent et sont continues.
  • Beaucoup d’exercices où on montre ce caractère C^1 y compris pour prouver la différentiabilité (sans DL1 du coup) (cf ex 2 ,3 planche)
  • Calculs de la différentielle d’un produit exercice sur les quotient
  • exercice sur la différentielle de M->M^{-1} sur GL_n(R). (deux méthodes)
  • Différentielle d’une composée : formule générale
  • Cas particulier important de (f o c)'(t)=df(c(t)).(c'(t)) pour une courbe.  Application à de nombreux exercices où on se ramène ainsi à une variable cf planche ex 6,7 et
  • Version en coordonnées ; produit des jacobiennes et règle de la chaîne
  • théorème caractérisant les fonctions constantes sur un ouvert connexe par arcs
  • Calcul à l’ordre 2 : déf du caractère C^2 avec les dérivées partielles et thme de Schwarz
  • Déf de la matrice Hessienne et Taylor Young à l’ordre 2 (énoncé sans dém)
  • C.N. de min local en un point d’un ouvert  ; pt critique où la hessienne est sym. positive (démo !)
  • C.S. de min local en un point d’un ouvert  ; pt critique où la hessienne est sym. déf positive (démo !)
  • Exemples d’équations aux dérivées partielles et de changement de variables (et de fonctions inconnues)
  • Vecteurs tangents à une partie d’un evn : l’ensemble T_a X des vecteurs tangents à a à X est un cône vectoriel
  • Théorème admis : en un point régulier a d’une hypersurface d’équation g=0, l’ensemble T_a X est l’hyperplan noyau de dg(a), autrement dit l’orthogonal du gradient en a (Savoir démontrer l’inclusion facile)
  • Théorème d’optimisation sous contrainte  : avec les mêmes hypothèse que dans l’énoncé précédente si f : X -> R admet un extremum en a alors le gradient de f en a est proportionnel au gradient de g en a.

Nous avons fait beaucoup d’exercices : toute la planche D3 Planche-D3-2025-2026  sauf ex 9, 16, 17,18, 20 (certains seront repris en début de semaine). Outre l’importance de vérifier les calculs de différentielles, on s’attachera à l’étude des extremum aussi bien sur les ouverts que sur les ensembles à bords (ex 19 banque CCINP ex 56) ou sur les hypersurfaces (CCINP ex 41) qui  a fait l’objet d’une attention toute particulière.

C’est la dernière colle avant les écrits !

Merci aux personnes ayant assuré les colles !

Rendez vous ensuite pour la préparations aux oraux

 

Colles de maths sem 21 : lundi 9 mars

Tout le programme de MP de probabilité; donc par rapport aux semaines précédentes, on rajoute, espace L^2,  variances, covariances, fonctions génératrices, inégalités de Cauchy-Schwarz,  Markov, Bienaymé Tchebychev, et loi faible des grands nombres ce qui fait autant de questions de cours possibles. Toute la banque CCINP de proba est  encore exigible. Nous avons fait beaucoup d’exercices : les exercices 1 à 10 (sauf 6c et 6d mais on a dénombré les dérangements) et sauf les questions de Python  sur la  Planche-P3-2025-2026 IMPORTANT : il n’y aura pas de colles de maths en sem 22 suivante mais on aura une dernière colle la sem 23 (calcul diff.)