Année 2026-2027:
A venir :
Semaine 6 :
Semaine 5 du lundi 12 octobre : réduction des endomorphismes (fin)
Cette semaine, en plus, on trigonalise, y compris avec la trigonalisation précisée donnée par la décomposition sur les sous-espaces caractéristiques. Bien sûr, on continue aussi à diagonaliser quand c’est possible, ou à faire d’autres réductions…
Questions de cours :
- Un endomorphisme est trigonalisable ssi il est annulé par un polynôme scindé (dém par réc. sur la dimension, en trouvant un hyperplan stable)
- Formule sur les Tr(A^k) en fonction des valeurs propres.
- Méthodes de trigonalisations concrètes pour les matrices 3×3 (en cours et pour aller plus loin ex2 planche)
- Pourquoi les endomorphismes nilpotents sont toujours trigonalisables, sur tous les corps.
- Définition des sous-espaces caractéristiques et théorème de décomposition sur les sous-espaces caractéristiques.
- Application (ex 15) au problème de la recherche d’une racine carrée dans M_n(C) pour une matrice inversible.
Sur la planche, on a traités tous les exercices sauf les numéros : 9,10,12, 14.
Semaine 4 du lundi 5 octobre : réduction des endomorphismes (suite)
Au programme précédent, on rajoute des connaissances plus précises sur le polynôme caractéristique.
- Déf du polynôme caractéristique d’une matrice : pourquoi est-ce bien un polynôme, partie connue X^n- Tr(A) X^{n-1}+.. +(-1)^n det(A) (dém.)
- Prop-déf. du polynôme caractéristique d’un endomorphisme (que faut-il prouver ?)
- Si F est un s.e.v stable par l’endomorphisme L alors chi_{L_F} divise chi_L (dém)
- Déf de la multiplicité algébrique et de la multiplicité géométrique d’une v.p. : inégalité entre ces deux multiplicités (dém-
- Calcul du polynôme caractéristique d’une matrice compagnon
- Calcul du polynôme minimal d’une matrice compagnon (bonus non exigible pour tous)
- CNS de dz avec le polynôme caractéristique (dém. non demandée)
- Thme de Cayley-Hamilton, énoncé et conséquences sur les écritures scindées dans C de chi_A et mu_A.
Sur la planche R2, on a traité les exercices 2 à 9.
Semaine 3 du lundi 28 septembre : réduction des endomorphismes (début)
Questions de cours :
-révision sur la classification des matrices pour la relation « d’équivalence »
-déf. de valeurs propres (deux déf. équivalentes), vecteurs propres, sev propre
-prop : les sev propres associés à des vp distinctes sont en somme directe (dém).
-Déf d’un endomorphisme diagonalisable : plusieurs formulations équivalentes
-Si L admet n v.p. distinctes dans un espace de dim. n alors L est dz (dém)
-Si v est un vecteur propre de l’endomorphisme L pour la v.p. lambda, alors c’est aussi un vecteur propre de P(L) pour la v.p. P(lambda) (dém) corollaire : si P annule L alors Sp(L) est inclus dans Z(P).
-Théorème (précise le résultat précédent) : Sp(L)=Z(mu_L) (dém).
-Théorème des noyaux (dém bonus en première semaine, sera exigible en seconde semaine).
-La restriction d’un endo. dz a un sev stable est dz.
Pour la diagonalisation pratique :
– sur une matrice simple on peut chercher les v.p. à l’aide de la condition det(A-lambda I)=0
– sur les autres exemples vus on étudie l’équation aux v.p. : on cherche les lambda pour lesquels il existe un v non nul tel que f(v)=lambda v
– un autre point de vue est la recherche d’un polynôme annulateur.
Nous avons déjà fait pas mal d’exercices : pl. R1 ex 1,2,3, 7,8, 9 à 16 (mais le 16 long n’est pas exigible) et 20 à 23 sur les polynômes annulateurs.
Semaine 2 du lundi 21 septembre
Révisions et compléments d’algèbre commutative : les étudiants doivent connaître parfaitement les définitions des structure de groupe, anneau, idéaux, corps algèbre et de sous-structure, de morphisme, cela peut faire l’objet d’une question de la colle.
Déf d’un anneau intègre : pourquoi les corps sont ils des anneaux intègres ?
Révision d’arithmétique dans Z et introduction des anneaux Z/nZ : savoir montrer que Z/nZ est un corps ssi n est un nombre premier et plus généralement que la classe de a est inversible dans Z/nZ ssi pgcd(a,n)=1
Théorie des idéaux : thme les idéaux de Z et de K[X] sont principaux (dém dans K[X])
Déf du ppcm et du pgcd avec les idéaux et théorème de Bézout pour n polynômes premiers entre eux dans leurs ensemble. Tout multiple commun est un multiple du PPCM (pourquoi ?).
Evaluation des polynômes en un élément d’une K algèbre : pourquoi c’est un morphisme d’algèbre (cf aussi Banque CCINP ex 65).
Déf du polynôme minimal d’une matrice, d’un endomorphisme : pourquoi il existe toujours pour les matrices et les endo. en dim. finie. Tout polynôme annulateur est un multiple du polynôme minimal.
La dimension de K[A] est égale au degré du polynôme minimal de A.
Caractérisation de l’inversibilité d’une matrice à l’aide de son polynôme minimal. Généralisation P(A) est inversible ssi pgcd(P,mu_A)=1.
On testera les connaissances de première année sur les polynômes et les nombres complexes (les exercices de la banque CCINP cités en tête de planche pourront être inspirant là-dessus). Pour les structures, on restera très très proche des questions de cours (sauf pour les 5/2 ou en fin d’une bonne colle) sur la planche on a fait tous les exercices sauf justement les exercices plus abstraits 3,4,5,6 (faits par les 5/2)
Semaine 1 du lundi 14 septembre : révisions d’algèbre linéaire et complément sur les sommes directes de plusieurs s.e.v., les matrices par blocs, les déterminants par blocs. Nous avons fait beaucoup d’exercices de la planche suivante (tous sauf les numéros 4,6,7,9,13,15,18,23,27,29).
Pour les questions de cours ;
- Somme directe de plusieurs s.e.v.: définitions, différentes caractérisations (en donner le plus possible, savoir démontrer celle qu’on nous demande…)
- Matrices par blocs : produits, opérations élémentaires sur les blocs, formule du déterminant d’une matrice triangulaire par bloc (deux démonstrations, savoir faire la plus facile :-).
- Déterminant de Vandermonde, calcul, lien avec l’interpolation de Lagrange.
Année 2025-2026
Semaine 23 du lundi 30 mars : tout le cours de calcul différentiel.
Le cours contient les notions suivantes :
- dérivée partielles
- dérivée selon un vecteur (lien avec les dérivées partielles) notation D_v f(a)
- D.L 1 et différentiabilité : notation df(a).(v) ou df(a).v
- Une fonction différentiable en a est continue en a et admet en a une dérivée suivant tout vecteur (démo)
- Beaucoup d’exemples de calculs de différentielle par D.L. 1 : cf planche Ex 4, 5.
- Fonction de classe C^1 : déf abstraite avec la continuité de df, équivalence admise de cette déf avec le fait que les dérivées partielles existent et sont continues.
- Beaucoup d’exercices où on montre ce caractère C^1 y compris pour prouver la différentiabilité (sans DL1 du coup) (cf ex 2 ,3 planche)
- Calculs de la différentielle d’un produit exercice sur les quotient
- exercice sur la différentielle de M->M^{-1} sur GL_n(R). (deux méthodes)
- Différentielle d’une composée : formule générale
- Cas particulier important de (f o c)'(t)=df(c(t)).(c'(t)) pour une courbe. Application à de nombreux exercices où on se ramène ainsi à une variable cf planche ex 6,7 et
- Version en coordonnées ; produit des jacobiennes et règle de la chaîne
- théorème caractérisant les fonctions constantes sur un ouvert connexe par arcs
- Calcul à l’ordre 2 : déf du caractère C^2 avec les dérivées partielles et thme de Schwarz
- Déf de la matrice Hessienne et Taylor Young à l’ordre 2 (énoncé sans dém)
- C.N. de min local en un point d’un ouvert ; pt critique où la hessienne est sym. positive (démo !)
- C.S. de min local en un point d’un ouvert ; pt critique où la hessienne est sym. déf positive (démo !)
- Exemples d’équations aux dérivées partielles et de changement de variables (et de fonctions inconnues)
- Vecteurs tangents à une partie d’un evn : l’ensemble T_a X des vecteurs tangents à a à X est un cône vectoriel
- Théorème admis : en un point régulier a d’une hypersurface d’équation g=0, l’ensemble T_a X est l’hyperplan noyau de dg(a), autrement dit l’orthogonal du gradient en a (Savoir démontrer l’inclusion facile)
- Théorème d’optimisation sous contrainte : avec les mêmes hypothèse que dans l’énoncé précédente si f : X -> R admet un extremum en a alors le gradient de f en a est proportionnel au gradient de g en a.
Nous avons fait beaucoup d’exercices : toute la planche D3 Planche-D3-2025-2026 sauf ex 9, 16, 17,18, 20 (certains seront repris en début de semaine). Outre l’importance de vérifier les calculs de différentielles, on s’attachera à l’étude des extremum aussi bien sur les ouverts que sur les ensembles à bords (ex 19 banque CCINP ex 56) ou sur les hypersurfaces (CCINP ex 41) qui a fait l’objet d’une attention toute particulière.
Semaine 21 du lundi 16 mars : tout le cours de probabilités !
