Auteur : romainbondil

Programme de la semaine 12 (rentrée de janvier)

Semaine 12 : du lundi 4 janvier

Deuxième semaine sur l’arithmétique de Z. Cette semaine, on dispose de la décomposition en facteurs premiers, et des valuations p-adiques ce qui simplifie la vision de bien des problèmes élémentaires.

Pour les élèves, bien réviser les programmes des deux semaines 11 et 12 pour une bonne mise en perspective globale.

Questions de cours possibles  :

  • Démontrer que si un nombre premier divise un produit, alors il divise l’un des facteurs (lemme d’Euclide).
  • Démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini et savoir l’adapter à de nouvelles situations (cf . ex. 1  pl. 18).
  • Savoir un codage en Python du crible d’Eratosthène (cf. corrigé du TP d’info).
  • Définition et prop. de base des valuations p-adiques.
  • Démontrer l’égalité pgcd(a, b).ppcm(a, b)=|ab| avec les v_p.
  • Existence et unicité de l’écriture irréductible d’un nombre rationnel.
  • Démontrer en une ligne que racine de 2 est irrationnel.
  • (Z/nZ,+,x) est un corps ssi n est premier.
  • Si k et n sont premiers entre eux alors k divise le binomial (k parmi n). Que se passe-t-il si n est premier?
  • Savoir utiliser le théorème Chinois en se ramenant à un représentant commun pour les deux congruences, savoir justifier cette version réduite.
  • Que dit le petit théorème de Fermat : différentes formes (sans démonstration).

plan-sem-12

Les deux planches auront été entièrement traitée d’ici la rentrée (sauf l’ex. 17 pl. 17 n’est pas exigible…).

Planche17 Planche18

 

 

Programme de la semaine 11

Semaine 11 : du lundi 14 décembre 

Cette semaine un peu de structures algébriques et un peu d’arithmétique élémentaire dans (Z,+,x).

Sur les structures : groupes, sous-groupes, anneaux et corps : les exercices de la planche 16 ont tous été traités.

La notion de morphisme n’ a PAS encore été vue ni celle de sous-anneaux, de sous-corps.

Sur l’arithmétique dans Z : rester très proche du cours, on n’a pas encore eu le temps de faire beaucoup d’exercices, on en restera à des exercices élémentaires sur les congruences et la divisibilité (cf. début planche 17)  l’arithmétique reviendra en deuxième semaine à la rentrée, avec plus d’outil (notamment :  la décomposition en facteur premier, le théorème de Fermat, le théorème Chinois ne sont PAS au programme de cette semaine).

Pour rester proche du cours, quelques questions de cours bienvenues (avec dém):

  • Un sous-groupe d’un groupe est un groupe
  • L’intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe, et quid de la réunion ?
  • Prop-déf de la loi + (resp. x) de Z/nZ (question redoutable : que veut dire  « il est légitime de définir… »).
  • (Z/nZ,+,x) est un anneau.
  • Théorème de division euclidienne
  • Théorème sur les sous-groupes de (Z,+).
  • A très bien payer car si bien compris, c’est que le cours a vraiment été compris : Démontrer  le théorème clef « tout multiple commun à a et b est un multiple du PPCM »  grâce aux sous-groupes.
  • Analogue du résultat précédent pour les PGCD.
  • Déf et prop de la somme de deux sous-groupes.
  • Algorithme d’Euclide : terminaison, correction,  mise en oeuvre sur un exemple.

Documents :

plan-sem-11 Planche16 Planche17

 

Programme de la semaine 10

Semaine 10 : du lundi  7 décembre 

Cette semaine Equations Différentielles Linéaires du 2ème ordre. On peut aussi poser des questions plus théoriques sur le 1er ordre. Pas de question de cours  cette semaine.

On veillera que les étudiants ne se précipitent pas sur la variation des constantes ou la réduction de l’ordre pour des équations où les secondes membres sympathiques !  On posera en tous cas d’abord un exercice de calcul élémentaire avant des exercices plus conceptuels ou imaginatifs…

La planche donne des idées d’exercices traités (ou qui pour certains seront finis en début de semaine).

Planche15 plan-sem-10

 

Un peu de provoque…

Un peu de provoque…. Extrait du cours d’analyse de R. Godement :

« Intégration des fonctions rationnelles :  

il arrive de loin en loin qu’on en ait besoin pour faire des vraies mathématiques; c’est bien rare. Dans l’enseignement, on ne s’en sert que pour (i) habituer les étudiants au calcul algébrique, ce qui peut certes toujours servir ailleurs, (ii) fournir aux examinateurs un réservoir inépuisable d’exercices stockés depuis des générations et permettant, conformément au point (i), de tester la virtuosité de l’impétrant. On peut en avoir besoin dans  certains calculs d’électrotechnique par exemple, mais ce n’est sûrement pas la principale motivation du sujet, inauguré par Leibniz, qui ne pensait pas aux étudiants des XIXe et XXe siècles (je rajoute XXIe) obligés d’en subir les retombées  » (fin de citation).

Pour tous points soulevés par Godement, et mis en regard avec les attendus de ce qu’il nomme   « pensionnat militaire de grand standing  » et de bien d’autres écoles à sa suite, cette intégration  des fonctions rationnelles est incontournable… et pour ce qui est de « vraies mathématiques » (expression pour moi toujours un peu suspecte…)   le paradoxe est  que dans son livre il en donne ensuite de jolies illustrations…

Programme de la semaine 9

Semaine 9 : du lundi 30 novembre au vendredi 4 décembre 

Calcul de primitives et E.D. linéaires du premier ordre.

Je propose un ‘passage obligé’ cette semaine en début de colles : les élèves doivent savoir primitiver  les fonctions rationnelles avec dénominateur de degré deux, suivant les trois  cas sur le discriminant du dénominateur. Trois cas, trois élèves…. pratique non ?

Un seul bémol,  dans le cas où le discriminant est négatif, on a pratiqué le cas des 1/(ax^2+bx+c), mais pas les (dx+e)/(ax^2+bx+c). C’est une lacune du cours (déjà assez détaillé sur ce sujet sinon)… si vous posez cela vous devrez expliquer comment on fait… j’espère que ce manque créera une envie  de savoir ce  « truc » supplémentaire.

 

Ensuite (comme le calcul de primitive sera rapide n’est-ce pas) des E.D.L. du premier ordre  éventuellement même singulières avec raccords (l’occasion de refaire des limites, des dérivées en un point à pb etc….) mais l’important est surtout déjà bien sûr que les calculs de primitives et les techniques de résolutions soient en place.

plan-sem-9

Les planches faites :

  • tous les exercices de calcul d’intégrale pl 13
  • Tous les exercices calculatoires de la pl. 14 : ex. 2 à 6
  • Planche14Planche13

Les exercices plus abstraits (style fin pl. 14) sont essentiellement à garder pour la semaine suivante, cette semaine du calcul, du calcul… bon, comme troisième exercice (si troisième exercice il y a) on pourra essayer d’aborder les questions plus abstraites.

Pour les calculs : voir l’article « provoque » qui suit…

 

Programme de la semaine 8

Semaine 8 : du lundi 23 au vendredi 27 novembre

Cette semaine des révisions et compléments sur les fonctions trigonométriques (linéarisation/polynomialisation..), mais surtout des fonctions trigonométriques réciproques, et un peu de fonctions hyperboliques.

Notes de cours complètes : les parties IV  1,2,3 ne sont pas exigibles. plan-sem-8

Les fonctions hyperboliques réciproques ne sont pas au programme.

  • Sur les fonctions trigonométriques : pour les élèves, revoir le programme de la semaine 1 plan-sem-1-bis Ainsi que la planche 2 : Planche2
  • Sur les fonctions trigonométriques réciproques : le cours à connaître est formé des parties 1,2,3 du DM 4 des vacances : DM4-trigo-recip
  • Planches exigibles :outre la planche 2,  la planche 12 en entier SAUF le dernier exercice (formule d’addition des arctan) qui sera corrigé lundi. Planche12
  • Planche non exigible (travaillée en classe mais qu’en partie résolue pour l’instant) :

Planche13