Auteur : romainbondil

Programme de colle de la semaine 12 (remis par commodité)

Semaine 12 : du lundi 4 janvier

Deuxième semaine sur l’arithmétique de Z. Cette semaine, on dispose de la décomposition en facteurs premiers, et des valuations p-adiques ce qui simplifie la vision de bien des problèmes élémentaires.

Pour les élèves, bien réviser les programmes des deux semaines 11 et 12 pour une bonne mise en perspective globale.

Questions de cours possibles  :

  • Démontrer que si un nombre premier divise un produit, alors il divise l’un des facteurs (lemme d’Euclide).
  • Démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini et savoir l’adapter à de nouvelles situations (cf . ex. 1  pl. 18).
  • Savoir un codage en Python du crible d’Eratosthène (cf. corrigé du TP d’info).
  • Définition et prop. de base des valuations p-adiques.
  • Démontrer l’égalité pgcd(a, b).ppcm(a, b)=|ab| avec les v_p.
  • Existence et unicité de l’écriture irréductible d’un nombre rationnel.
  • Démontrer en une ligne que racine de 2 est irrationnel.
  • (Z/nZ,+,x) est un corps ssi n est premier.
  • Si k et n sont premiers entre eux alors k divise le binomial (k parmi n). Que se passe-t-il si n est premier?
  • Savoir utiliser le théorème Chinois en se ramenant à un représentant commun pour les deux congruences, savoir justifier cette version réduite.
  • Que dit le petit théorème de Fermat : différentes formes (sans démonstration).

plan-sem-12

Les deux planches auront été entièrement traitées d’ici la rentrée (sauf l’ex. 17 pl. 17 qui  n’est pas exigible…).

Planche17

Planche18 

Pl 18 chinoiseries à vous de jouer !

Bonjour,

Voici la planche de solutions pl 18 augmentée de l’exercice 10 avec solution très détaillée : je ne donnerai des solutions à l’ex 11 et 12 quand j’aurais au moins 5 solutions justes pour les chinoiseries de la fin de l’ex. 10 et ce par des personnes qui ne m’ont pas encore envoyé de solutions !!

Donc j’espère à demain pour vos solutions !!
rb
P.S. sur ce fichier aussi correction de coquilles dans la solution de l’ex;9 et aussi ex. 8 (un 555 était un 554)Pl-18-solution

Remarque : pour le 19 b) une autre méthode possible est de chercher toutes les racines carrées du discriminant dans Z/21 Z, il y en a quatre…

 

Sol ex. 8 et 9 pl. 18

Bonjour  et bonne année à toutes et tous,

Voici les deux exercices 8 et 9 corrigés à la suite des précédents, avec une coquille corrigée pour le lemme de l’ex. 6.  Pour aujourd’hui il s’agit pour vous d’essayer de finir cette planche, les dernières solutions ce soir ou demain matin et ce sera fini pour l’arithmétique ces vacances (finir aussi le DM avant le w.e. garder ce w.e. pour des révisions de cours, la fin de la digestion du Cours du C2 et la planche 19 !

Pl-18-solution

rb

 

Constructions de corps finis analogue à celle de C.

Rebonjour

Sur le fait que notre construction de C s’adapte pour adjoindre une racine carrée à -1 par exemple dans Z/7Z,
Et sur la question de Iokanaan sur ce qu’il faudrait faire pour adjoindre plutôt es  racines cubiques
Je ne peux que conseiller le joli article suivant d’image des maths.
De quoi faire de jolis rêves  des corps finis…..
Cette construction est faite dans un article de Galois de 1830, il avait 18 ou 19 ans… donc presque votre âge…
rb