Auteur : romainbondil

Bonjour

une solution du DM 11; je vous l’imprimerai lundi

DM11-2020-2021-sol

bon w.e.

 

Semaine 19 : du lundi 9  mars : fonctions continues d’une variable réelle.

QdC obligatoire : un des théorèmes suivants à démontrer.

• si f et g tendent en un point respectivement vers l et l’ avec l<l’ alors il existe un voisinage de la limite sur lequel f<g
• caractérisation séquentielle de la limite
• théorème de la limite monotone pour les fonctions (soigner l’énoncé)
• T.V.I. version 1 : existence d’un zéro
• T.V.I. version 2 et version 3 l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle
• Soit  f  monotone sur un intervalle I  alors : f est continue sur I ssi f(I) est un intervalle.
• Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
• Pour une fonction continue sur un intervalle : f est injective ssi f est stmt monotone.
• Exemple de fonction continue bijective à réciproque non continue
• Une fonction continue bijective définie sur un intervalle I est un homéomorphisme.
• Théorème de la bijection avec les bornes ouvertes.

La planche suivante a été travaillée en classe sauf les exercices 3) c), 5, 7) et fin du 9) non exigibles,  qui seront corrigés en début de semaine.Planche32

plan-sem-19

Bonsoir

voici une version mise à jour par rapport au poly distribué aujourd’hui (des compléments rajoutés oralement notamment ex. 2,4, 7. La même chose à la page DM.

DM10-planche-29-sol

rb

 

Semaine 18 : du lundi 1er mars : thmes et études pratiques de suites réelles et complexes.

QdC obligatoire :  un des théorèmes  de comparaison ou d’opérations suivant à démontrer.

• Conservation des inégalités larges par passage à la limite
• Gendarmes
• Addition des limites
• Multiplication des limites par une constante
• Multiplication des limites
• Inverse de limite
• Composition des limites.

Pour les exercices : des études pratiques de suites réelles ou complexes :

• u_n=f(n) revoir les calculs de limites du chapitre B2 Planche 11 à revoir avec équivalents et o(). Planche11
• suites définies implicitement
• encadrement de sommes
• suites récurrentes u_{n+1}=f(u_n) (crucial !).

Les suites réc. linéaires d’ordre deux sont aussi à revoir : cf Planche26-5

Les notes de cours complètes :

plan-sem-18

La planche 29 (travaillée pendant les vacances) :Planche29

Les planches bonus pour les élèves, reprises plus tard :

Planche30 Planche31

Semaine 17 : du lundi 8 février. Propriétés de R et des suites réelles.

Un chapitre un peu abstrait, avec encore peu d’exercices traités, donc la première partie de la colle sera consacrée à une question de cours ou une question très proche du cours. L’essentiel est que la définition de la borne supérieure soit comprise (et celle de la limite déjà vue doit être mieux digérée au second passage).

Question de cours possibles :

• Définitions et caractérisation de la Borne supérieure.
• Que dit la P.B.S ? Donner un exemple de résultat qu’on démontre avec la P.B.S
• Qu’est-ce que la propriété d’Archimède ? En donner des conséquences.
• Exemple de partie bornée  de Q sans  Borne sup (justifier)
• Déf. Partie entière, approximation décimale.
• Démontrer que Q est dense dans  R par la méthode de la  flaque d’eau.
• Démontrer que D est dense dans R.
• Définition de la limite des suites. Montrer qu’une suite CV est bornée.
• Définition d’une suite extraite. Une suite extraite d’une suite qui tend vers un l converge aussi vers l.
• Théorème d’unité de la limite
• Théorème de la limite monotone,
• Déf et théorème des suites adjacentes
• Caractérisation séquentielle de la borne sup.
• Caractérisation séquentielle de la densité.

Les seuls exercices des planches « exigibles » à ce stade seront les ex. 4,5,6. pl. 27.

Mais il y a aussi les exercices de la planche 7 à réviser sur valeur absolue, partie entière.

Planche7

plan-sem-17 Planche28 Planche27

 

Semaine 16 : du lundi 1er février  espaces vectoriels réels, sommes directes, supplémentaires, Grassman, espaces vectoriels sur un corps K quelconque.

Un premier objectif crucial de cette semaine,   la description des s.e.v d’un e.v. de dim finie :

• Beaucoup de SAVOIR FAIRE : savoir passer d’équations paramétriques à des équations cartésiennes, et inversement.
• Savoir démontrer qu’une équation cartésienne définit un hyperplan (résultat de cours).Pour le reste pas de résultat sur la théorie des équations cartésiennes, mais savoir faire sur des exemples le passage du cartésien au paramétrique.

L’autre objectif : maîtriser la notion de somme directe de deux s.e.v

 Nombreuses QdC possibles pour cette notion :

• Donner le maximum de caractérisations possibles de F=F_1 somme directe F_2.
• Enoncer et Démontrer la caract des sommes directes par l’unicité de la décomposition
• Enoncer et démontrer la caract. des sommes directes par la concaténation des bases
• Que veut dire ‘F_1 et F_2 sont en somme directe ‘? Caractérisation avec la concaténation des bases, par la somme des dimensions.
• Adapter les caractérisations précédentes au cas particulier de s.e.v supplémentaires.
• démontrer le critère  « 2 parmi 3 » du cours pour caractériser les s.e.v. supplémentaires.

Enfin deux théorèmes un peu consistants pour matheux en herbes : 

Un nouveau héros,  Grassmann (il a les cheveux verts… on peut le voir en P15 merci Aline).

• Démontrer le théorème de Grassmann (démonstration au choix parmi les deux du cours).

Un autre héros, Lagrange (on ne va pas en faire du foin mais bon) :

• Enoncé et démonstration du théorème d’interpolation de Lagrange (ce qui demande pour les élèves un effort de synthèse à partir des questions de l’ex. pl. 24).

La pl. 25 a été entièrement travaillée en classe sauf les deux derniers exercices (dont le dernier : existence d’un supplémentaire commun, ne sera corrigé que lundi).

Sur les espaces vectoriels sur un corps quelconque, on pourra poser des questions en deuxième partie de colle. La pl. 26 est donnée à titre indicatif des exercices que nous traiterons pour le début de la semaine. Notamment PAS de suites récurrentes linéaires d’ordre deux cette semaine s.v.p., ce sera la semaine prochaine, merci !

plan-sem-16 Planche25 Planche26

 

 

N.B. pour les colleurs : pour cette semaine, le corps des scalaires est toujours R. La notion d’application linéaire a été définie avec qq exemples  essentiellement pour dire ce qu’est un  isomorphisme d’espaces vectoriel, mais elle n’a pas été étudiée pour elle-même.

Exemples de questions de cours :

• Montrer que R^n avec les lois usuelles est un R-e.v.
• Montrer que F(A,R) ensemble des fonctions de A dans R (où A ensemble qcq) est un R-e.v.
• Définir les notions de famille génératrice, libre, base.
• Propriété-définition de la notion de coordonnées dans une base.
• Donner un exemple d’e.v. n’ayant pas de famille génératrice finie.
• Définir Vect(f_1,..,f_n) et montrer que c’est le plus petit s.e.v. de E contenant f_1.. f_n.
• Justifier que tout R-e.v. de dim. n est isomorphe à R^n  une fois qu’on a choisi une base
• Pour quels e.v. a-t-on défini une base ‘canonique’ ? Justifier que la  » base canonique  » des polynômes est bien une base !
• Montrer qu’une famille génératrice minimale (bien définir cette notion) est une base.
• De même avec les libres maximales.
• Enoncé du T.B.E., T.B.I.
• Enoncer et démontrer le lemme de l’échange pour UN  vecteur.
• Montrer que si E est de dim n et (f_1,..f_n) est une famille libre de n vecteurs de E c’est une base. (de même avec génératrice).

Pour les exercices : tous les exercices de la pl. 23  ont été corrigés et peuvent être posés en « QdC » sauf les ex 1 ,2,3. Planche23

On vérifiera notamment que les étudiants savent montrer qu’un ensemble donné est un s.e.v. soit avec la définition, soit en montrant que c’est un Vect(…).

Pour les exercices sur les familles libres : la pl. 24 suivante est en cours d’étude.Planche24

Les notes de cours complètes :  plan-sem-15

 

Bonjour à tous
Pour Baptiste qui était absent hier, j’ai rédigé les exo qu’on a travaillé ensemble + la solution de l’ex.2 et réponse ex./ 1. Planche21-sol

Un bonus avec la troisième solution de l’ex. 12 par Alexandre C.  dans les arrêts de jeu…

bon w.e.

rb

 

 

Semaine 14 : du lundi 18 janvier au vendredi 22  Polynômes à coefficients complexes.

N.B. pour les colleurs : le notion de polynôme formel n’a pas été introduite à ce stade, on ne parle que de fonctions polynomiales, à coefficients réels ou complexes, la variable pouvant elle aussi être réelle ou complexe.

Peu de questions de cours, mais beaucoup d’exercices possibles. Parmi les QdC possibles néanmoins :

• Démontrer qu’un nombre complexe non nul admet exactement n racines n-ièmes.
• Justifier que ces racines n-ièmes d’un nombre complexe quelconque forment un polygone régulier.
• Justifier qu’un polynôme complexe de degré n admet au plus n racines.
• Justifier en admettant le théorème de d’alembert-Gauss qu’un polynôme à coefficients complexes admet toujours une écriture scindée dans C[z].
• Que veut-on dire quand on dit qu’un polynôme de degré n admet exactement n racines dans C en comptant les multiplicités ?
• Lien coefficient racines pour les polynômes de degré 3 et 4.
• Si f est un polynôme à coefficients réels et si  alpha est une racine complexe de f alors le conjugué de alpha est aussi racine de f.
• Démontrer de deux façons différentes (algèbre et analyse) qu’un polynôme de R[x] de degré impair admet toujours au moins une racine réelle.

Les exercices de la planche 21 auront été à peu près tous traités.Planche21

La Planche22  n’est pas supposée connue, elle est en cours de travail.

Les notes de cours : plan-semaine-14

Le programme de la semaine est très riche, formé de trois parties distinctes !

On choisira une QdC dans une des trois parties suivantes, en sachant que les étudiants auront forcément moins de recul sur la troisième, plus récente, et qu’il faudra donc rester plus proche du cours.

La première : construction d’une structure de corps sur R^2.

Question de cours possibles sur cette partie:

• définition d’un morphisme de groupes, d’anneaux, de corps
• montrer qu’un morphisme de groupes envoie neutre sur neutre, symétrique sur symétrique
• montrer qu’ un morphisme bijectif est un isomorphisme
• transfert de propriétés par un morphisme surjectif.
• Les exercices 1 à 4 de la Planche19.

Seconde partie : géométrie plane avec les nombres complexes.

C’est le coeur du chapitre, crucial  !

Question de cours possibles sur cette partie:

• Inégalité triangulaire pour le module dans C, avec sa CNS d’égalité.
• Ecriture du produit scalaire et du déterminant en coordonnées complexes
• Equation cartésienne de cercle en coordonnées réelles et analogue en complexe.
• Démonstration des formules (u|v)=||u||.||v|| cos(u,v) et det(u,v)=||u||.||v||sin(u,v) et interprétation géométrique du déterminant.

Sur cette partie tous les exercices de la Planche19 ont été corrigés en classe et peuvent aussi faire l’objet de question.

Troisième  partie : Transformation du plan avec les nombres complexes.

Question de cours possibles sur cette partie:

• Donner le plus de caractérisation équivalente possible de  » f est une similitude directe »
• Citer et démontrer (au moins la partie existence) du  théorème de décomposition canonique d’une similitude directe.
• Montrer qu’une similitude directe conserve les angles orienté et multiplie les distances par k.
• Démontrer géométriquement la composée de deux réflexions (deux cas).

A titre d’information voici la planche d’exercices que nous sommes en train de travailler sur ce chapitre (non exigible en QdC bien sûr).Planche20

Les notes de cours complètes  : plan-sem-13