Semaine 11 : du lundi 14 décembre
Cette semaine un peu de structures algébriques et un peu d’arithmétique élémentaire dans (Z,+,x).
Sur les structures : groupes, sous-groupes, anneaux et corps : les exercices de la planche 16 ont tous été traités.
La notion de morphisme n’ a PAS encore été vue ni celle de sous-anneaux, de sous-corps.
Sur l’arithmétique dans Z : rester très proche du cours, on n’a pas encore eu le temps de faire beaucoup d’exercices, on en restera à des exercices élémentaires sur les congruences et la divisibilité (cf. début planche 17) l’arithmétique reviendra en deuxième semaine à la rentrée, avec plus d’outil (notamment : la décomposition en facteur premier, le théorème de Fermat, le théorème Chinois ne sont PAS au programme de cette semaine).
Pour rester proche du cours, quelques questions de cours bienvenues (avec dém):
- Un sous-groupe d’un groupe est un groupe
- L’intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe, et quid de la réunion ?
- Prop-déf de la loi + (resp. x) de Z/nZ (question redoutable : que veut dire « il est légitime de définir… »).
- (Z/nZ,+,x) est un anneau.
- Théorème de division euclidienne
- Théorème sur les sous-groupes de (Z,+).
- A très bien payer car si bien compris, c’est que le cours a vraiment été compris : Démontrer le théorème clef « tout multiple commun à a et b est un multiple du PPCM » grâce aux sous-groupes.
- Analogue du résultat précédent pour les PGCD.
- Déf et prop de la somme de deux sous-groupes.
- Algorithme d’Euclide : terminaison, correction, mise en oeuvre sur un exemple.
Documents :
plan-sem-11 Planche16 Planche17
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