Auteur : romainbondil

Programme de colle semaine 21

Semaine 21, lundi 14 mars : Equations différentielles linéaires DEBUT

Cette semaine :

  • Révision de première année : equation diff. linéaires du premier ordre quelconques, et EDL du second ordre à coefficients constants et second membre sympathiques. Notamment problème de raccordement pour les E.D. singulières. Cf Ex 1,2 pl. Q1.
  • Sur les EDL du deuxième ordre, éventuellement à cofficients variables : exemples de réduction de l’ordre si on connait une solution particulière de l’équation homogène, ou bien changement de variables. Recherche de solutions développables en séries entières.
  • Propriétés de l’exp. de matrice, (continuité, dérivée de t-> exp(tA), exp(A+B) si  A et B commutent),  exemple de calculs et d’exercice sur celle-ci.
  • Théorie des systèmes différentiels linéaires X'(t)=A.X(t)+B(t) avec A constante et pratique suivant que A est dz ou bien seulement tz (dans ce dernier cas, prendre A de taille 2 ou 3) et M.V.C. dans ce cadre.

Attention : Le cas général X'(t)=A(t).X(t)+B(t) a été fait en cours mais nous n’avons pas eu le temps de faire des exercices dessus. La M.V.C. n’a pas encore été pratiquée dans ce cadre, NI l’application aux cas des équations scalaires. La M.V.C. pour les E.D.L scalaires d’ordre deux est donc reportée à la semaine prochaine , ainsi  que les études qualitatives sur ces mêmes EDL.

Bref une colle idéale alliera un exercice plus d’analyse de sup (vérifications des techniques primitives/DL etc avec en plus les D.S.E.), et un exercice plus algébrique sur les systèmes ou l’exponentielle.

On pourra piocher dans la Banque INP Ex. 30, 31  (en remplaçant la  MVC à l’ordre 2 demandée par la linéarisation du   second membre c’est mieux! ) 32, 42, 74, 75.

Et sur la planche (où tout n’a pas été traité !) :

planche-q1-2

Bonne semaine.

Séance de lundi matin

Bonjour,

lundi nous reparlerons de la planche P3, je vous conseille vraiment de chercher les exercices 6 à 8 pour bien en profiter. Pour l’exercice 6 j’ai été un peu expéditif pour la question c), vous pouvez aller voir sur le sujet original de Centrale.  D’autre part, même si personne ne m’a posé la question, le m dans le e) (ii) désigne l’espérance E(X).

D’autre part, pensez à ramener les sujets du DS 7 que je vous rendrai, pour quelques conseils.

D’ici là bon w.e. à tous

rb

Programme de colle pour la rentrée

Le voici déjà, je le reposterai si besoin dans deux semaines !

Par ailleurs, j’ai essayé de mettre le site à jour avec tous les documents sur les pages DM, DS, Informatique et la page privée avec les notes de cours. N’hésitez pas à m’écrire s’il manque des choses.

Semaine 20, lundi 7 mars : probabilités TOUT

Cette semaine, on aura jel’espère plus de recul sur ces chapitres, importants, de probabilités.

La colle pourra commencer par un des exercices de la banque INP Ex. 95 à 112.

(Certains de ces exercices sont longs, on peut n’en poser qu’une partie si besoin : pour les étudiants cela vous fait quand même un exercice de proba par jour pour les vacances !)

Pour le cours, programme précédent avec en plus :

  • Espace L^2_d : savoir montrer que c’est un e.v.
  • Variance de toutes les lois usuelles
  • Covariance, covariance d’une somme, cas d’une somme de v.a. deux à deux indépendantes
  • Série et Fonction génératrice d’une v.a.d. à valeurs dans N
  • Thm (savoir dém) : X admet une espérance finie ssi G_X est dérivable en 1. (et de même X admet un moment d’ordre 2 ssi G_X est deux fois dérivable en 1).
  • Fonction génératrice d’une somme de v.a. indépendantes
  • Inégalités de Markov, Tchebychev et loi faible des grands nombres.

Sur la planche P3, nous n’avons traités que les exercices 1 à 5 et encore le 3 et 4) c) d) n’ont pas été traités entièrement. Les exercices 6 et 8 sont des petits problèmes pour les vacances.

Planche-P3

Colles de maths semaine 19

Semaine 19, lundi 14, février : probabilités, variables aléatoires discrètes.

Un premier programme de probabilités avec  :

  • un chapitre général sur les probabilités, tribus.
  • un premier chapitre sur les variables aléatoires comprenant la présentation des cinq lois du programme (Bernoulli,binomiale, uniforme, géométrique, Poisson), l’indépendance, les lois de couples, l’espérance.
  • PAS DE VARIANCE, covariance, fonction génératrices cette semaine.

L’essentiel est la pratique de ces notions, donc comme « question de cours » cette semaine, on privilégiera la  reprise d’un des nombreux exercices des planches P1 et P2 ci-dessous tous travaillés en classes sauf le dernier de la planche P2 (qui sera traité lundi).  Pas non plus de banque INP cette semaine, ce sera pour la rentrée.

Planche-P2

Planche-P1

Ceci n’exclut pas toutefois quelques   vraies questions de cours possibles :

  • La démonstration de la propriété de continuité croissante des probabilités
  • La définition de ce qu’est une variable aléatoire discrète
  • Le caractère ‘sans mémoire’ des v.a. géométriques (dém avec réciproque)
  • la définition  l’indépendance d’une famille de v.a.d.
  •  le lemme des coalitions (énoncé)
  • Le calcul de l’espérance des cinq lois du programme
  • La définition d’une variable aléatoire dans L^1_d.
  •  le théorème de transfert (énoncé cas positif et cas signe qcq).

Colles de maths semaine 18

Semaine 18, Lundi 7 février : (réduction des) endomorphismes d’un espace euclidien.

« Questions de cours  » possibles :

  • Interprétation matricielle de Gram-Schmidt : les matrices de passages sont  T.S. à diagonale stmt positive. Montrer que si un endomorphisme est trigonalisable, il l’est en b.o.n.
  • Donner le plus de caractérisations possibles des automorphismes orthogonaux
  • Théorème de réduction des automorphismes orthogonaux en dim. n quelconque.(le colleur choisira les étapes de la dém. qu’on détaille ou pas).
  • Cas particulier de la dimension 2 et 3 dans le théorème précédent (le cas de la dim. 2 fait en sup n’a pas été revu en cours, revoyez vos cours de sup !).
  • Montrer que SO(n) est connexe par arcs.
  • Caractérisation matricielle  des endomorphismes symétriques.
  • Montrer qu’un projecteur est un projecteur orthogonal ssi c’est un endomorphisme symétrique.
  • Démonstration du théorème spectral (le colleur choisira les étapes de la dém. qu’on détaille ou pas).

Planche travaillée en classe :  Planche-R4 (sauf exercices 8, 11 et 9.2 pas encore travaillés). On recommande des extraits de l’exercice sur la racine carrée sym. positive d’une matrice symétrique positive….

On peut aussi poser une question de révision sur la réduction via un exercice de la banque INP notamment Ex. 83, 88, 91,93, ou bien un petit brainstorming sur les CNS de diagonalisabilité, ça ne fait pas de mal….