Auteur : romainbondil

Séance de lundi matin

Bonjour,

lundi nous reparlerons de la planche P3, je vous conseille vraiment de chercher les exercices 6 à 8 pour bien en profiter. Pour l’exercice 6 j’ai été un peu expéditif pour la question c), vous pouvez aller voir sur le sujet original de Centrale.  D’autre part, même si personne ne m’a posé la question, le m dans le e) (ii) désigne l’espérance E(X).

D’autre part, pensez à ramener les sujets du DS 7 que je vous rendrai, pour quelques conseils.

D’ici là bon w.e. à tous

rb

Programme de colle pour la rentrée

Le voici déjà, je le reposterai si besoin dans deux semaines !

Par ailleurs, j’ai essayé de mettre le site à jour avec tous les documents sur les pages DM, DS, Informatique et la page privée avec les notes de cours. N’hésitez pas à m’écrire s’il manque des choses.

Semaine 20, lundi 7 mars : probabilités TOUT

Cette semaine, on aura jel’espère plus de recul sur ces chapitres, importants, de probabilités.

La colle pourra commencer par un des exercices de la banque INP Ex. 95 à 112.

(Certains de ces exercices sont longs, on peut n’en poser qu’une partie si besoin : pour les étudiants cela vous fait quand même un exercice de proba par jour pour les vacances !)

Pour le cours, programme précédent avec en plus :

  • Espace L^2_d : savoir montrer que c’est un e.v.
  • Variance de toutes les lois usuelles
  • Covariance, covariance d’une somme, cas d’une somme de v.a. deux à deux indépendantes
  • Série et Fonction génératrice d’une v.a.d. à valeurs dans N
  • Thm (savoir dém) : X admet une espérance finie ssi G_X est dérivable en 1. (et de même X admet un moment d’ordre 2 ssi G_X est deux fois dérivable en 1).
  • Fonction génératrice d’une somme de v.a. indépendantes
  • Inégalités de Markov, Tchebychev et loi faible des grands nombres.

Sur la planche P3, nous n’avons traités que les exercices 1 à 5 et encore le 3 et 4) c) d) n’ont pas été traités entièrement. Les exercices 6 et 8 sont des petits problèmes pour les vacances.

Planche-P3

Colles de maths semaine 19

Semaine 19, lundi 14, février : probabilités, variables aléatoires discrètes.

Un premier programme de probabilités avec  :

  • un chapitre général sur les probabilités, tribus.
  • un premier chapitre sur les variables aléatoires comprenant la présentation des cinq lois du programme (Bernoulli,binomiale, uniforme, géométrique, Poisson), l’indépendance, les lois de couples, l’espérance.
  • PAS DE VARIANCE, covariance, fonction génératrices cette semaine.

L’essentiel est la pratique de ces notions, donc comme « question de cours » cette semaine, on privilégiera la  reprise d’un des nombreux exercices des planches P1 et P2 ci-dessous tous travaillés en classes sauf le dernier de la planche P2 (qui sera traité lundi).  Pas non plus de banque INP cette semaine, ce sera pour la rentrée.

Planche-P2

Planche-P1

Ceci n’exclut pas toutefois quelques   vraies questions de cours possibles :

  • La démonstration de la propriété de continuité croissante des probabilités
  • La définition de ce qu’est une variable aléatoire discrète
  • Le caractère ‘sans mémoire’ des v.a. géométriques (dém avec réciproque)
  • la définition  l’indépendance d’une famille de v.a.d.
  •  le lemme des coalitions (énoncé)
  • Le calcul de l’espérance des cinq lois du programme
  • La définition d’une variable aléatoire dans L^1_d.
  •  le théorème de transfert (énoncé cas positif et cas signe qcq).

Colles de maths semaine 18

Semaine 18, Lundi 7 février : (réduction des) endomorphismes d’un espace euclidien.

« Questions de cours  » possibles :

  • Interprétation matricielle de Gram-Schmidt : les matrices de passages sont  T.S. à diagonale stmt positive. Montrer que si un endomorphisme est trigonalisable, il l’est en b.o.n.
  • Donner le plus de caractérisations possibles des automorphismes orthogonaux
  • Théorème de réduction des automorphismes orthogonaux en dim. n quelconque.(le colleur choisira les étapes de la dém. qu’on détaille ou pas).
  • Cas particulier de la dimension 2 et 3 dans le théorème précédent (le cas de la dim. 2 fait en sup n’a pas été revu en cours, revoyez vos cours de sup !).
  • Montrer que SO(n) est connexe par arcs.
  • Caractérisation matricielle  des endomorphismes symétriques.
  • Montrer qu’un projecteur est un projecteur orthogonal ssi c’est un endomorphisme symétrique.
  • Démonstration du théorème spectral (le colleur choisira les étapes de la dém. qu’on détaille ou pas).

Planche travaillée en classe :  Planche-R4 (sauf exercices 8, 11 et 9.2 pas encore travaillés). On recommande des extraits de l’exercice sur la racine carrée sym. positive d’une matrice symétrique positive….

On peut aussi poser une question de révision sur la réduction via un exercice de la banque INP notamment Ex. 83, 88, 91,93, ou bien un petit brainstorming sur les CNS de diagonalisabilité, ça ne fait pas de mal….

Programme de colle semaine 17

Semaine 17, Lundi 31  janvier : espaces préhilbertiens et approximation dans les espaces de fonctions.

Questions de cours possibles

  • Démontrer le théorème d’approximation uniforme  sur un segment des fonctions continues par morceaux par les fonctions en escalier (on pourra se limiter au cas où f est continue pour la dém.)
  • Démontrer le lemme de Riemann Lebesgue suivant : Capture d’écran 2022-01-29 à 10.34.36
  • Savoir aussi montrer le résultat précédent par I.PP si f est C^1.
  • Citer le théorème d’approximation polynomiale de Weierstrass et montrer :Capture d’écran 2022-01-29 à 10.38.39
  • Espaces préhilbertiens : montrer l’unicité du supplémentaire orthogonal éventuel d’un se.v.
  • Montrer qu’un s.e.v. de dim. finie d’un e.v. préhilbertien quelconque admet un supplémentaire orthogonal.
  • Citer l’inégalité de Bessel pour une famille orthonormale d’un e.v. préhilbertien
  • Définir ce qu’est une suite totale (e_n) et montrer que (e_n) est une suite totale ssi pour tout f dans E, la suite des projeté orthogonaux p_n(f) sur Vect(e_1,..,e_n) converge vers f.
  • Donner différentes caractérisations des suites totales orthonormales dont l’égalité de Parseval.
  • TOUS les exercices de la planche T4 ont été traités et sont donc exigible sauf le 10 c) peut-être trop abstrait.

Pour les exercices d’application, on insistera sur les calculs concrets de projections orthogonales du type de l’ex. 7 de la planche (on pourra aussi vérifier que la méthode d’orthogonalisation de Gram Schmidt est bien maîtrisée) ou Ex 81, 82 de la banque INP. 

Planche-T4

Merci et bonne semaine à tous