Auteur : romainbondil

Suites récurrentes linéaires pour l’ENAC (et pas que…)

Bonjour,

à la demande de Léo, voici une petite fiche que je donnais à mes sup sur les suites réc. linéaires d’ordre deux… tiens cela me fait penser à un possible problème de révision d’algèbre linéaire que je vous donnerai… mais pour l’instant voici :

suites-rec-lin-ordre-deux

bonne chance à tout.e.s les candidats aviateurs ; c’est tellement bien l’aviation qu’on fait voler des avions à vide pour garder des créneaux d’aéroport…

Programme de colle semaine 23,

Semaine du lundi 28 mars

Dernière colle de l’année (avant la préparation à l’oral en mai !)

On restera très proche du cours et des exercices standard qui suivent et sauf pour les colles du jeudi, on évitera les dérivées partielles d’ordre strictement plus grand que 1.

  • Définition  de la dérivée selon un vecteur et des dérivées partielles dans une base.
  • Montrer qu’une norme n’est, en 0,  dérivable selon aucun vecteur non nul.
  • Définition d’une fonction différentiable.
  • Exemple de calcul de différentielles avec  un DL1.
  • Montrer que si f est différentiable  en a alors f admet une dérivée selon tout vecteur en a et lien df(a).v=D_vf(a). (L’argument  donne aussi  l’unicité du DL_1). Réciproque en exercice de la planche.
  • Définition du gradient d’une fonction de E dans R avec E euclidien. Pourquoi le gradient donne-t-il la « direction de plus grande pente »
  • Savoir montrer qu’une fonction est différentiable en montrant qu’elle est de classe C^1 (les dérivées partielles existent et sont continues) cf ex 3  planche .
  • Différentielle d’une fonction composée, traduction matricille  règle de dérivation en chaîne : SAVOIR PRATIQUER.
  • Cas des f(c(t)) avec t-> c(t) une courbe : (f o c)'(t)=df(c(t)).c'(t) PAR COEUR ! Avec applications possibles :
      • Pourquoi le gradient est-il orthogonal aux équipotentielles ?
      • Lemme d’intégration d’un champ de gradient le long d’un chemin.
  • Application du calcul différentiel : extrema locaux (CN  point critique, réciproque à la main ou argument topologique), EDP très simples (ordre 1 !!)

En fin de semaine (jeudi) en plus : dérivées partielles  d’ordre supérieur.

Sur la planche ; seuls les Ex 1 à 4 ont été traités en classe pour l’instant mais en gros le programme de la semaine porte sur les exercices du recto . Sur la banque CCINP les exercices de calcul diff. portent presque exclusivement sur l’existence ou pas de la différentielle…  mais les exercices de type extrema  ou EDP simples sont important pour l’écrit CCINP aussi.

Planche-F3

Programme maths semaine 21, du 21 mars

Semaine 21, lundi 21  mars : Equations différentielles linéaires TOUT.

En plus du programme de la semaine dernière approfondissement des propriétés qualitatives aussi bien pour les EDL du deuxième ordre à coefficient non constant que pour les Systèmes différentiels à coefficients constants cf Planche Q2 (les ex 1 à 5 et l’ex. 7 ont déjà été traités en classe, les autres le seront en début de semaine). De même les exercices qualitatifs de la planche Q1 (ex. 4,5) ont aussi été traités en classe et peuvent inspirer des variantes

On pourra tester que la Méthode de Variations des constantes pour les E.D.L. scalaires d’ordre 2 est bien pratiquée. Tous les exercices de la banque INP sur les E.D. déjà cités la semaine dernière sont encore posables bien sûr.

PlancheQ2

Planche-Q1

EN PLUS : fonctions d’une variable réelle à valeurs vectorielles.  Pas de démonstration à connaître, mais connaître les résultats suivants :

-formule de dérivation d’une fonction de la forme F(u(t),v(t)) où u et v sont à valeurs vectorielles et F est bilinéaire : dérivée d’un produit scalaire, d’un produit vectoriel, d’un déterminant 2×2 (et par extension d’un déterminant nxn), d’un produit de matrices

-Définition de l’intégrale d’une fonction à valeurs vectorielles, inégalité des accroissements finis pour une fonction C^1 à valeurs vectorielles.

Pas d’exercice spécifiques traités en classe sur ces notions mais bien comprendre que le calcul fait avec les t- >exp(tA) au chapitre sur les E.D. relève de tout cela.

Programme de colle semaine 21

Semaine 21, lundi 14 mars : Equations différentielles linéaires DEBUT

Cette semaine :

  • Révision de première année : equation diff. linéaires du premier ordre quelconques, et EDL du second ordre à coefficients constants et second membre sympathiques. Notamment problème de raccordement pour les E.D. singulières. Cf Ex 1,2 pl. Q1.
  • Sur les EDL du deuxième ordre, éventuellement à cofficients variables : exemples de réduction de l’ordre si on connait une solution particulière de l’équation homogène, ou bien changement de variables. Recherche de solutions développables en séries entières.
  • Propriétés de l’exp. de matrice, (continuité, dérivée de t-> exp(tA), exp(A+B) si  A et B commutent),  exemple de calculs et d’exercice sur celle-ci.
  • Théorie des systèmes différentiels linéaires X'(t)=A.X(t)+B(t) avec A constante et pratique suivant que A est dz ou bien seulement tz (dans ce dernier cas, prendre A de taille 2 ou 3) et M.V.C. dans ce cadre.

Attention : Le cas général X'(t)=A(t).X(t)+B(t) a été fait en cours mais nous n’avons pas eu le temps de faire des exercices dessus. La M.V.C. n’a pas encore été pratiquée dans ce cadre, NI l’application aux cas des équations scalaires. La M.V.C. pour les E.D.L scalaires d’ordre deux est donc reportée à la semaine prochaine , ainsi  que les études qualitatives sur ces mêmes EDL.

Bref une colle idéale alliera un exercice plus d’analyse de sup (vérifications des techniques primitives/DL etc avec en plus les D.S.E.), et un exercice plus algébrique sur les systèmes ou l’exponentielle.

On pourra piocher dans la Banque INP Ex. 30, 31  (en remplaçant la  MVC à l’ordre 2 demandée par la linéarisation du   second membre c’est mieux! ) 32, 42, 74, 75.

Et sur la planche (où tout n’a pas été traité !) :

planche-q1-2

Bonne semaine.