Auteur : romainbondil

Programme de colle semaine 17

Semaine 17, Lundi 31  janvier : espaces préhilbertiens et approximation dans les espaces de fonctions.

Questions de cours possibles

  • Démontrer le théorème d’approximation uniforme  sur un segment des fonctions continues par morceaux par les fonctions en escalier (on pourra se limiter au cas où f est continue pour la dém.)
  • Démontrer le lemme de Riemann Lebesgue suivant : Capture d’écran 2022-01-29 à 10.34.36
  • Savoir aussi montrer le résultat précédent par I.PP si f est C^1.
  • Citer le théorème d’approximation polynomiale de Weierstrass et montrer :Capture d’écran 2022-01-29 à 10.38.39
  • Espaces préhilbertiens : montrer l’unicité du supplémentaire orthogonal éventuel d’un se.v.
  • Montrer qu’un s.e.v. de dim. finie d’un e.v. préhilbertien quelconque admet un supplémentaire orthogonal.
  • Citer l’inégalité de Bessel pour une famille orthonormale d’un e.v. préhilbertien
  • Définir ce qu’est une suite totale (e_n) et montrer que (e_n) est une suite totale ssi pour tout f dans E, la suite des projeté orthogonaux p_n(f) sur Vect(e_1,..,e_n) converge vers f.
  • Donner différentes caractérisations des suites totales orthonormales dont l’égalité de Parseval.
  • TOUS les exercices de la planche T4 ont été traités et sont donc exigible sauf le 10 c) peut-être trop abstrait.

Pour les exercices d’application, on insistera sur les calculs concrets de projections orthogonales du type de l’ex. 7 de la planche (on pourra aussi vérifier que la méthode d’orthogonalisation de Gram Schmidt est bien maîtrisée) ou Ex 81, 82 de la banque INP. 

Planche-T4

Merci et bonne semaine à tous

Programme de colle semaine 16

Semaine 16, Lundi 24  janvier : séries entières et révisions générales sur séries de fonctions, et intégrales et analyse en général (sauf topo.)

La colle pourra débuter pour tous les étudiants  par un exercice de la Banque CCINP  en privilégiant les Ex. 2,4, 6, 14, 20  à 24, 32, 47, 49 à 51, et  53.

Ensuite on choisira très librement des exercices dans tout ce qui fait le coeur du programme d’analyse  : série de fonctions (et notamment série entières qui ont sûrement besoin d’être approfondies mais pas seulement) et intégrales.

Tous les exercices de la planche sur les séries entières (sauf l’ex. 11)  ont été travaillés en classe et peuvent être reposés aussi cette semaine.

Planche-S4

Programme de colle semaine 14

Semaine 15, Lundi 17 janvier : séries entières

Bonjour, cette semaine, pour la Banque CCINP seulement ex. 22, 23,24 cette semaine. Exercices de la planche : ex 1 à 7 et 10, 12, 13, 14 à savoir refaire.

Planche-S4

Questions de cours :

  • Lemme d’Abel et déf. du rayon de CV.
  • Somme et produit de deux séries entières, rayon de CV, expression de la somme.
  • Σ a_n z^n et Σ a_n n^c z^n ont même rayon de CV, pour tout réel c.
  • Thme d’unicité des coefficients d’un dév. en série entière d’une fonction D.S.E.
  • Exemple d’une fonction non D.S.E. dont la série de Taylor converge.
  • Déf. de exp(z) pour z dans C avec la série entière et formule exp(z+z’)=exp(z).exp(z’).
  • Formule du binôme généralisée et démonstration avec E.D.
  • Et sans faute : formule de Taylor Reste Intégral et Inégalité de Taylor-Lagrange  (sous peine d’une note en dessous de la moyenne!).

Nota Bene : cette semaine, on reste très proche du cours sur les séries entières, la semaine suivante sera vraisemblablement une semaine de révision/synthèse de tout le cours sur les séries de fonctions et intégrales, où on pourra poser des exercices plus avancés. Merci