Auteur : romainbondil

C’est la dernière semaine pour les colles cette année ! Merci à tous les colleurs pour leur collaboration.

Cette semaine, les polynômes formels, leur construction, leur arithmétique et leurs applications.

Questions de cours :

• Qu’est-ce que le produit de Cauchy sur les suites nulles A.P.C.R. ? Quel rôle joue-t-il dans le cours ? En pratique comment apparaît-il dans nos calculs sur les polynômes ? Voir aussi : un exercice d’illustration de la formule du produit de Cauchy par exemple, ex 1 pl. 56.
• Qu’est ce que l’indéterminée X?
• Isomorphisme entre l’algèbre K[X] des polynômes formels et celle des fonctions polynomiales de K dans K si K est infini. Pourquoi cela ne marche plus si K=Z/pZ ?
• Dérivation formelle : la définir et démontrer la formule sur la dérivée d’un produit (spécialement pour Thomas).
• Formule de Taylor pour les polynômes. Pourquoi elle est utile pour caractériser les racines multiples avec la dérivation.
• Théorème de division euclidienne : unicité et existence (algorithme, terminaison, correction).
• Polynôme irréductible, déf; forme des polynômes irréductibles dans C[X] et R[X] (justifier).
• Théorème sur les idéaux de K[X], (bonus démonstration).
• Théorème déf du pgcd et du ppcm.
• Théorème de Bézout pour des polynômes premiers entre eux dans leur ensemble.
• CNS de divisibilité par un polynôme scindé.
• Dérivée de l’écriture scindée d’un polynôme et formule pour pgcd(P,P’).

plan-sem-29Planche56

Revoir : les calculs sur les nombres complexes et les polynômes complexes (chapitre C3), cf. pl. 56 ex. 6,7,8, 9.

Revoir les arguments simples d’arithmétique sur les entiers par exemple pour montrer que des nombres sont irrationnels (chapitre C1).

La planche suivante ne sera pas traitée entièrement :

C’est ici et sur la page TP Info 1ere année

Cette semaine, déterminants.

On commencera la colle par un calcul en 3×3 ou en 4×4 (non polluant) donnant une forme factorisée.

Questions de cours possibles :

• obtenir sur des exemples la décomposition d’une permutation en composée de cycles à supports disjoints.
• définir la signature d’une permutation : qu’y a-t-il à prouver pour la définition « intuitive »? comment peut-on le prouver (en changeant de définition avant de retrouver la déf. intutive).

• démontrer l’écriture de toute forme n-linéaire alternée dans une base d’un e.v. de dim. n (la formule combinatoire)
• Donner la définition du déterminant det_B de n vecteurs dans une base B.
• Donner la formule de changement de base pour le déterminant.
• Donner la définition du déterminant d’une matrice : le déterminant est-il une forme linéaire de M_n(K) dans K ?
• Donner sans démonstration la formule de développement d’un déterminant par rapport à une ligne ou une colonne (attention aux variables muettes/parlantes).
• Donner la définition du déterminant d’un endomorphisme (dire ce qu’il faut prouver, et une idée pour le prouver).
• Démontrer que det(AxB)=det(A)xdet(B).
• Obtenir la formule de récurrence du développement d’un déterminant tridiagonal.
• Savoir et obtenir la formule du déterminant de Vandermonde.
• Définition de la comatrice et formule de la comatrice sans démonstration.
• Exercice fait en cours sur le rang de la comatrice.

Les planches : les exercices plus difficiles (style 9,10,11 pl. 52) sur le groupe symétrique sont réservées aux plus avancé(e)s.

Bonsoir, voici un corrigé du concours blanc de maths d’aujourd’hui, rédigé par notre collègue du Lycée Daudet.

A la demande de Iokanaan, une solution pour l’ex 8 (classe de similitudes des matrices de rang un).

Et surtout de l’ex 9 beaucoup plus élémentaire, et qui n’a pas besoin du 8 🙂

Bonjour, cette semaine, construction et propriété de l’intégrale des fonctions continues par morceaux sur un segment.

Il y a déjà beaucoup de choses à faire en restant proche du cours. Voici une liste de questions de cours possibles.

Sur l’uniforme continuité :

• Montrer que lip-> u.continue-> continue et donner des contre-exemples pour les réciproques.
• Démontrer un sens de la caractérisation séquentielle des fonctions uniformément continues.
• Enoncer le théorème de Heine. Ne pas le démontrer mais dire quel théorème on utilise dans la démonstration et donner au moins un endroit dans le cours d’intégration où on a utilisé ce théorème.
• Exercice de la planche 50 : montrer qu’une fonction hölderienne (on pourra redonner la déf) est uniformément continue.
• Démontrer que x->x^alpha est u. continue sur R^+ pour alpha<=1 (deux méthode possibles, cf planche 50).

Sur l’approximation uniforme :

• Enoncer le théorème d’approximation uniforme (dessus/dessous) des fontions c.p.m. par les fonctions en escalier. Le démontrer dans le cas des fonctions continues.
• Définir la convergence simple et la convergence uniforme. Donner un exemple d’une suite de fonctions continues sur un segment qui converge simplement mais pas uniformément vers une fonction
• Démontrer (en admettant les propriétés de l’intégrale) qui si (f_n) CVU vers f sur un segment, dans le monde des fonctions C.P.M. alors la suite des intégrales des f_n converge vers l’intégrale de f (théorème d’intégration d’une limite uniforme).
• Que veut dire le fait que l’espace des fonctions en escaliers sur [a,b] est dense dans CM([a,b],R) pour la norme infinie ? Justifier que ce résultat est une conséquence du théorème d’approximation uniforme.

Sur la construction de l’intégrale

• Donner le théorème définition de l’intégrale des fonctions C.P.M. Indiquer le résultat clef pour sa démonstration.
• Démontrer la linéarité de l’intégrale, en raisonnant par densité à partir de l’intégrale des fonctions en escalier.

Sur les propriétés particulières de l’intégrale des fonctions continues :

• Enoncer et démontrer le théorème fondamental sur le lien intégrale primitive pour les fonctions continues.
• Enoncer et démontrer le théorème de convergence des sommes de Riemann, et le démontrer dans le cas C^1 (bonus quid du cas C^0).
• CNS d’égalité dans l’inégalité triangulaire pour les intégrales de fonctions continues.

Une solution complète de cet exercice dont nous n’avions fait que le a) en classe.

Bonjour

comme dit aujourd’hui en classe, il y a une coquille Q12du DM 16 (il manquait un indice 0 à un x). Voici la bonne version , je corrige aussi le fichier de la page DM.

Nous avons corrigé cet exercice en classe mais certains ont eu bien du mal avec cette construction et c’est normal au début ! Il faut bien en comprendre les contraintes (même base au départ et à l’arrivée, la géométrie est à ce prix).

Je vous en redonne une rédaction tapée (celle de Paul).

Je vous rappelle qu’une rédaction alternative possible est de partir d’une base (e_1,..,e_r) de Im f puis de définir les antécédents respectifs e_{n-r+1},..,e_n de ces vecteurs.

Je pense que bien méditée cette solution devrait vous permettre de résoudre l’exercice 8.

Là aussi une solution serait la bienvenue !

La bonne connaissances des propriétés des matrices et endomorphismes de rang 1 est cruciale.

Sur ce sujet voir notamment le CB d’algèbre 2018_2019.

Bon w.e. à vous, moi j’ai vos copies pour penser à vous ne vous inquiétez pas !

rb