Auteur : romainbondil

Comme nous n’avons finalement pas corrigé cet exercice 4 en classe, je vous en livre un corrigé.

J’ai parlé de l’ex. 5 avec le lemme de Riesz appliqué aux matrices, mais je vous en redonne ici une version tapée.

Peut-être y aura-t-il une candidate ou un candidat pour rédiger l’ex. 6 ? Il y a eu un concours blanc (2014-2015) avec ce genre de choses (avec un sujet des petites mines pas très efficace qui montre moins de manière plus longue..)

Encore un programme « double ». On pourra choisir entre une des deux parties pour la question de cours.

Cependant, il faudrait qu’il y ait au moins une question sur les espaces euclidiens/préhilberten dans la colle.

PARTIE I : Fin du cours sur les applications linéaires :

notion de matrices semblables, exemple de changement de bases pour les endomorphismes et Trace.

Questions de cours possible :

• Définir la trace d’un endomorphisme
• Savoir montrer qu’une matrice A est semblable à une matrice diagonale donnée.
• Savoir chercher tout seul la matrice diagonale en question en cherchant les lambda tels que rg(A-lambda I) <n.

Des applications « concrètes » de cette réduction ont été vues en DM, entièrement corrigé. Sur la pl. 47, on se référera plutôt aux ex. 2 et 3 avec les exemples et contre-exemples « concrets » qu’aux exercices plus abstraits de la fin de la planche réservés aux plus à l’aise.

PARTIE II : Cours sur les espaces préhilbertiens/euclidiens.

Questions de cours possibles :

• Démontrer que (x,y)-> 2x_1y_1+3(x_1y_2+x_2y_1)+7x_2y_2 est un produit scalaire sur R^2.

• Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz avec sa C.N.S. d’égalité.
• Démontrer l’inégalité triangulaire pour les normes euclidiennes, en admettant l’I.C.S, avec sa CNS d’égalité.
• Donner une ou deux écritures du produit scalaire en fonction de la norme (formules de polarisation).
• Mettre en oeuvre l’orthogonalisation de Gram-Schmidt sur un exemple.
• Montrer que si F est un s.e.v. d’un espace euclidien alors l’orhogonal de F et F sont supplémentaires.
• Théorème de la projection orthogonale : ||v-p_F(v)|| réalise le min des ||v-w|| pour w dans F.
• Calculer une matrice de projection orthogonale sur un plan de R^3 donné par son équation cartésienne.
• Enoncer et démontrer le lemme de Riesz.

La planche 48 a été pour l’essentiel faite en classe. La planche 49 sera corrigée en début de semaine.

Bon long week end à tous

rb

Notes de cours et exercices :

L’ensemble des données avec fichier .py du corrigé est disponible à l’adresse suivante : https://www.dropbox.com/sh/ft572u06tuo8aai/AAD1FFPZ1AuYyYjFEsZIGx4_a?dl=0

Ceci est aussi en bas de la liste des TP d’info de cette année.

Rebonjour,

au cas où vous oublieriez d’emporter votre DM papier en week-end, le voici ici :

(bien sûr aussi sur la page DM)

rb

Bonsoir,

Voici une solution du DS d’aujourd’hui : n’hésitez pas à me faire part de coquilles probables.

A demain

rb

Pour les étudiants : cette semaine, on va travailler sur la fin du G3 : notions de matrices semblables et réduction des endomorphismes avec la planche suivante que je donnerai en version papier lundi

et le DM 15 (idem) cf page DM.

Rebonjour : c’est ici

Bonne nouvelle, nous sommes de retour au Lycée, et les colles pourront se dérouler normalement !

Cette semaine, un programme en deux parties encore :

première partie : calcul matriciel, avec plus spécifiquement le calcul d’inverse de matrices et les opérations élémentaires.

On rajoute aussi la notion de transposée d’une matrice.

seconde partie: la notion de changement de base pour les applications linéaires, et la théorie des matrices équivalentes, classification par le rang, et applications.

Attention : pas de matrices semblables cette semaine, ni de ‘réduction des endomorphismes’ cette semaine.

Sur la première partie; on a fait beaucoup d’exercice, donc les élèves devraient être assez à l’aise techniquement.

Voici la planche traitée :

On peut encore insister sur d’autres types d’exercice de calcul matriciel et notamment avec les E_{i,j}.

Sur la seconde partie, nous n’avons pas encore eu le temps de faire des exercices, en revanche ce sera l’occasion de poser des jolies questions de cours, parmi lesquelles :

• Définir ce qu’est une matrice de passage, et pourquoi on peut l’interpréter comme matrice de l’identité
• Donner et démontrer la formule de changement de base pour les vecteurs
• Donner et démontrer la formule de changement de base pour les applications linéaires.
• Donner un énoncé précis pour le fait que « deux matrices équivalentes codent la même A.L. à condition de se donner le droit de changer de base au départ et à l’arrivée ».

• Enoncer les deux versions du « théorème de réduction pour équivalence » (géométrique/matricielle)

• Démonstration géométrique de ce théorème

• Démonstration matricielle sur un exemple, avec obtention explicite des matrices Q et P.

• Démontrer que rang(A)=rang(A^T)
• Démontrer que m équations linéaires indépendantes dans un e.v. de dim. n définissent un sev de dim n-m
• Donner les propriétés des matrices extraites pour le rang et démontrer l’une d’elle au choix.

Voici le plan du cours :

La planche suivante ne sera corrigée qu’en début de semaine :

Bonne semaine à vous !

Pour celles ou ceux qui ne regarderaient pas leur e-mail… voici le lien :

attention ces démo sont « exigibles » pour la semaine prochaine.

https://www.dropbox.com/sh/o6ewhffg2ginn4n/AACcgc42_wkrMn2lS_jtEuJna?dl=0

C’est ici :