Auteur : romainbondil

Colles de maths semaine 17 :

Semaine 17 du lundi 5 février : (réduction des) endomorphismes d’un espace euclidien.

Un cours très riche qui demande un travail en profondeur : 

  • Définition de l’adjoint, écriture matricielle en b.o.n.
  • Si F est un s.e.v. stable par u alors son orthogonal est stable par u*.
  • Donner le plus de caractérisations possibles des isométries vectorielles avec dém de l’une d’elles
  • Donner le plus de caractérisations possibles des matrices orthogonales : attention déterminant =+- 1 n’est PAS une caractérisation de ces matrices !
  • Montrer qu’une matrice orthogonale symétrique est une matrice de symétrie orthogonale et montrer que vous avez compris ce que chaque terme de cette phrase veut dire….

  • Thme de classification de toutes les isométries vectorielles : énoncé, étapes de la preuve (sans prouver les lemmes utilisés),   on peut demander de rédiger formellement la récurrence sur l dimension,  ce que nous n’avons pas fait en cours  mais dans ce cas cf. rédaction de l’ex. 2 pl. R4.

  • Théorème spectral de réduction des endomorphismes auto adjoints : étapes de la preuve (sans prouver les lemmes utilisés).

  • Pour f dans L(E), justifier que f est entièrement déterminé par sa forme bilinéaire associée (x,y)-> (x|f(y)). Si f est auto adjoint alors cette forme bilinéaire, symétrique, est entièrement connue si on connait la forme quadratique (mot H.P)  q_f : x-> (x|f(x)), pourquoi  ? (formule de polarisation pour q_f). Ecriture matricielle de ces objets.

  • Ecriture de la forme quadratique x-> (f(x)|x) dans une b.o.n. de dz. de f auto adjoint , application à une caractérisation de la plus grande et de la plus petite v.p. de f.

  • Définition des autoadjoints positifs (resp. matrices symétriques positives) et caractérisation par le spectre.

Nous avons pris  le temps de faire beaucoup d’exercices, presque toute la planche R4 ci-jointe jusqu’au 14 pour l’instant, j’espère que cela donnera déjà assez de recul, même si pour la réduction des autoadjoints il y a encore bien des choses à explorer …. Planche-R4.-2023

Colles de maths semaine 16 : lundi 29 janvier

Approximation dans les espaces de fonctions, espaces préhilbertiens.

Cette semaine est aussi l’occasion de réviser et consolider les acquis de 1ère année sur les espaces euclidiens et préhilbertiens.

« Questions de cours » possibles :

  • Citer le théorème d’approximation uniforme des fonctions c.p.m. par des fonctions en escalier et savoir l’appliquer pour démontrer le théorème de Riemann-Lebesgue sur un segment (thme H.P. mais à connaître aussi bien pour le résultat que pour la méthode).
  • Citer le théorème d’approximation de Weierstrass  et montrer qu’on ne peut pas espérer une CVU sur R entier car si une suite de polynômes CVU sur R entier….
  • Dans le cadre préhilbertien : montrer que l’orthogonal d’une partie dense est réduit à {0}.  Application au ‘lemme des moments’ (Banque CCINP 48 même si le corrigé de la banque est formulé sans produit scalaire, voir la rédaction faite en classe !).
  • Montrer que L^2_continue(I,R) est un espace préhilbertien.
  • Déterminer l’orthogonal des suites nulles A.P.C.R. dans l^2(N).
  • Révision de première année : CNS d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz et dans l’inégalité triangulaire.
  • Existence d’un supplémentaire orthogonal pour un s.e.v. de dim. finie d’un espace préhilbertien.
  • Formule de calcul de la projection orthogonale quand on connait une base orthogonale de ce s.e.v. : applications sur des exemples, cas des sommes partielles de la série de Fourier de f.
  • Le projeté orthogonal d’un vecteur v  sur un sev F minimise la distance entre v et les vecteurs de F.
  • Mise en oeuvre de l’orthogonalisation de Gram- Schmidt sur des exemples.

Sur la  Planche-T4-2023  tous les exercices sauf le 5 ont été traités en classe mais il est clair que la thématique sur l’approximation uniforme est plus difficile et plutôt (à part les QdC ci-dessus)  à réserver en deuxième partie de colles pour les élèves les plus à l’aise. Pour tout le monde, on testera en priorité la solidité des connaissances sur les espaces préhilbertiens, sur les produits scalaires usuels, Cauchy-Schwarz (revoir les exercices faits en sup sur cette inégalité car pas eu le temps d’en mettre assez sur la planche et ceux de la Banque CCINP là-dessus 77, 79), et surtout les projections orthogonales et l’orthogonalisation.

A cet égard, il est un peu regrettable que les ex 80, 81, 82 de la Banque CCINP permettent un calcul ‘avec une astuce’ du projeté orthogonal sans tester le recours à une méthode générale.

Bonne semaine

Colles de maths semaine 15 :lundi 22 Janvier

On restera d’abord proche du cours (QdC),  c’est aussi l’occasion de révisions de chapitres précédents de topologie,  ainsi que du cours de 1ère année sur la continuité des fonctions d’une variable réelle qu’on généralise ici.

Questions de Questions de cours possibles :

  • Montrer le théorème de Bolzano-Weierstrass (B.W.) dans C en admettant le résultat dans R.
  • Montrer qu’un compact d’un e.v.n.  E est fermé borné dans E.
  • Montrer qu’un fermé dans un compact est compact.
  • Donner un exemple de fermé borné non compact (aussi exercice 13 banque CCINP sur ce sujet mais on peut aussi penser au cadre préhilbertien avec une famille o.n.).
  • Montrer que l’image continue d’un compact est compacte.
  • Théorème des bornes atteintes pour les fonctions d’un compact dans R.
  • Montrer que la sphère unité d’un e.v.n. de dim au moins 2 est connexe par arcs.
  • L’image continue d’un c.p.a. est c.p.a.
  • Connexité par arc pour montrer qu’une fonction d’un intervalle I de R dans R  continue injective est strictement monotone.

Dans les exercices on a beaucoup insisté sur l’utilisation de la compacité pour réaliser des extrema : on pourra interroger sur les exercices 8, 10, 11 pl. T3. La notion de fonction coercive qui n’est pas au programme doit être bien comprise car elle est fréquente !

Planche-T3-2023

DM 9 et 10

Des travailleurs de la dernières ayant perdu l’énoncé du DM 9 m’ont fait remarqué qu’il n’était pas sur le site… c’est réparé, il est à la page DM et je ne peux que vous encourager à travailler ce sujet important sur les suites de Dirac et la convolution.

Pour les travailleurs de la première heure, j’ai même mis le DM 10 que je vous donnerai en papier lundi.

bon w.e., bonne convolution…

Programmes de colles semaine 14, lundi 15/01

REVISIONS sur Séries et Intégrales : séries numériques, séries de fonctions, séries entières, et tout sur les intégrales. 

Connaissance précise des théorèmes, application efficace des méthodes 🙂

Format de la colle : 

Pour la semaine suivante : compacité et connexité par arcs. Il y aura pas mal de questions de cours. Reprenez ces démonstrations plusieurs fois et pas à la dernière minute.