Semaine 17 du lundi 5 février : (réduction des) endomorphismes d’un espace euclidien.
Un cours très riche qui demande un travail en profondeur :
- Définition de l’adjoint, écriture matricielle en b.o.n.
- Si F est un s.e.v. stable par u alors son orthogonal est stable par u*.
- Donner le plus de caractérisations possibles des isométries vectorielles avec dém de l’une d’elles
- Donner le plus de caractérisations possibles des matrices orthogonales : attention déterminant =+- 1 n’est PAS une caractérisation de ces matrices !
- Montrer qu’une matrice orthogonale symétrique est une matrice de symétrie orthogonale et montrer que vous avez compris ce que chaque terme de cette phrase veut dire….
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Thme de classification de toutes les isométries vectorielles : énoncé, étapes de la preuve (sans prouver les lemmes utilisés), on peut demander de rédiger formellement la récurrence sur l dimension, ce que nous n’avons pas fait en cours mais dans ce cas cf. rédaction de l’ex. 2 pl. R4.
- Théorème spectral de réduction des endomorphismes auto adjoints : étapes de la preuve (sans prouver les lemmes utilisés).
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Pour f dans L(E), justifier que f est entièrement déterminé par sa forme bilinéaire associée (x,y)-> (x|f(y)). Si f est auto adjoint alors cette forme bilinéaire, symétrique, est entièrement connue si on connait la forme quadratique (mot H.P) q_f : x-> (x|f(x)), pourquoi ? (formule de polarisation pour q_f). Ecriture matricielle de ces objets.
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Ecriture de la forme quadratique x-> (f(x)|x) dans une b.o.n. de dz. de f auto adjoint , application à une caractérisation de la plus grande et de la plus petite v.p. de f.
- Définition des autoadjoints positifs (resp. matrices symétriques positives) et caractérisation par le spectre.
Nous avons pris le temps de faire beaucoup d’exercices, presque toute la planche R4 ci-jointe jusqu’au 14 pour l’instant, j’espère que cela donnera déjà assez de recul, même si pour la réduction des autoadjoints il y a encore bien des choses à explorer …. Planche-R4.-2023
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