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Bonsoir, voici un corrigé du concours blanc de maths d’aujourd’hui, rédigé par notre collègue du Lycée Daudet.

A la demande de Iokanaan, une solution pour l’ex 8 (classe de similitudes des matrices de rang un).

Et surtout de l’ex 9 beaucoup plus élémentaire, et qui n’a pas besoin du 8 🙂

Bonjour, cette semaine, construction et propriété de l’intégrale des fonctions continues par morceaux sur un segment.

Il y a déjà beaucoup de choses à faire en restant proche du cours. Voici une liste de questions de cours possibles.

Sur l’uniforme continuité :

• Montrer que lip-> u.continue-> continue et donner des contre-exemples pour les réciproques.
• Démontrer un sens de la caractérisation séquentielle des fonctions uniformément continues.
• Enoncer le théorème de Heine. Ne pas le démontrer mais dire quel théorème on utilise dans la démonstration et donner au moins un endroit dans le cours d’intégration où on a utilisé ce théorème.
• Exercice de la planche 50 : montrer qu’une fonction hölderienne (on pourra redonner la déf) est uniformément continue.
• Démontrer que x->x^alpha est u. continue sur R^+ pour alpha<=1 (deux méthode possibles, cf planche 50).

Sur l’approximation uniforme :

• Enoncer le théorème d’approximation uniforme (dessus/dessous) des fontions c.p.m. par les fonctions en escalier. Le démontrer dans le cas des fonctions continues.
• Définir la convergence simple et la convergence uniforme. Donner un exemple d’une suite de fonctions continues sur un segment qui converge simplement mais pas uniformément vers une fonction
• Démontrer (en admettant les propriétés de l’intégrale) qui si (f_n) CVU vers f sur un segment, dans le monde des fonctions C.P.M. alors la suite des intégrales des f_n converge vers l’intégrale de f (théorème d’intégration d’une limite uniforme).
• Que veut dire le fait que l’espace des fonctions en escaliers sur [a,b] est dense dans CM([a,b],R) pour la norme infinie ? Justifier que ce résultat est une conséquence du théorème d’approximation uniforme.

Sur la construction de l’intégrale

• Donner le théorème définition de l’intégrale des fonctions C.P.M. Indiquer le résultat clef pour sa démonstration.
• Démontrer la linéarité de l’intégrale, en raisonnant par densité à partir de l’intégrale des fonctions en escalier.

Sur les propriétés particulières de l’intégrale des fonctions continues :

• Enoncer et démontrer le théorème fondamental sur le lien intégrale primitive pour les fonctions continues.
• Enoncer et démontrer le théorème de convergence des sommes de Riemann, et le démontrer dans le cas C^1 (bonus quid du cas C^0).
• CNS d’égalité dans l’inégalité triangulaire pour les intégrales de fonctions continues.

Une solution complète de cet exercice dont nous n’avions fait que le a) en classe.

Bonjour

comme dit aujourd’hui en classe, il y a une coquille Q12du DM 16 (il manquait un indice 0 à un x). Voici la bonne version , je corrige aussi le fichier de la page DM.

Nous avons corrigé cet exercice en classe mais certains ont eu bien du mal avec cette construction et c’est normal au début ! Il faut bien en comprendre les contraintes (même base au départ et à l’arrivée, la géométrie est à ce prix).

Je vous en redonne une rédaction tapée (celle de Paul).

Je vous rappelle qu’une rédaction alternative possible est de partir d’une base (e_1,..,e_r) de Im f puis de définir les antécédents respectifs e_{n-r+1},..,e_n de ces vecteurs.

Je pense que bien méditée cette solution devrait vous permettre de résoudre l’exercice 8.

Là aussi une solution serait la bienvenue !

La bonne connaissances des propriétés des matrices et endomorphismes de rang 1 est cruciale.

Sur ce sujet voir notamment le CB d’algèbre 2018_2019.

Bon w.e. à vous, moi j’ai vos copies pour penser à vous ne vous inquiétez pas !

rb

Comme nous n’avons finalement pas corrigé cet exercice 4 en classe, je vous en livre un corrigé.

J’ai parlé de l’ex. 5 avec le lemme de Riesz appliqué aux matrices, mais je vous en redonne ici une version tapée.

Peut-être y aura-t-il une candidate ou un candidat pour rédiger l’ex. 6 ? Il y a eu un concours blanc (2014-2015) avec ce genre de choses (avec un sujet des petites mines pas très efficace qui montre moins de manière plus longue..)

Encore un programme « double ». On pourra choisir entre une des deux parties pour la question de cours.

Cependant, il faudrait qu’il y ait au moins une question sur les espaces euclidiens/préhilberten dans la colle.

PARTIE I : Fin du cours sur les applications linéaires :

notion de matrices semblables, exemple de changement de bases pour les endomorphismes et Trace.

Questions de cours possible :

• Définir la trace d’un endomorphisme
• Savoir montrer qu’une matrice A est semblable à une matrice diagonale donnée.
• Savoir chercher tout seul la matrice diagonale en question en cherchant les lambda tels que rg(A-lambda I) <n.

Des applications « concrètes » de cette réduction ont été vues en DM, entièrement corrigé. Sur la pl. 47, on se référera plutôt aux ex. 2 et 3 avec les exemples et contre-exemples « concrets » qu’aux exercices plus abstraits de la fin de la planche réservés aux plus à l’aise.

PARTIE II : Cours sur les espaces préhilbertiens/euclidiens.

Questions de cours possibles :

• Démontrer que (x,y)-> 2x_1y_1+3(x_1y_2+x_2y_1)+7x_2y_2 est un produit scalaire sur R^2.

• Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz avec sa C.N.S. d’égalité.
• Démontrer l’inégalité triangulaire pour les normes euclidiennes, en admettant l’I.C.S, avec sa CNS d’égalité.
• Donner une ou deux écritures du produit scalaire en fonction de la norme (formules de polarisation).
• Mettre en oeuvre l’orthogonalisation de Gram-Schmidt sur un exemple.
• Montrer que si F est un s.e.v. d’un espace euclidien alors l’orhogonal de F et F sont supplémentaires.
• Théorème de la projection orthogonale : ||v-p_F(v)|| réalise le min des ||v-w|| pour w dans F.
• Calculer une matrice de projection orthogonale sur un plan de R^3 donné par son équation cartésienne.
• Enoncer et démontrer le lemme de Riesz.

La planche 48 a été pour l’essentiel faite en classe. La planche 49 sera corrigée en début de semaine.

Bon long week end à tous

rb

Notes de cours et exercices :

L’ensemble des données avec fichier .py du corrigé est disponible à l’adresse suivante : https://www.dropbox.com/sh/ft572u06tuo8aai/AAD1FFPZ1AuYyYjFEsZIGx4_a?dl=0

Ceci est aussi en bas de la liste des TP d’info de cette année.