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Colles de maths sem 12 : lundi 15/12

Semaine 12 du lundi 15 décembre Suites d’intégrales : convergence dominée et série d’intégrales et intégration terme à terme.

D’abord révision du  chapitre I1 sur l’intégralibilité , notamment toujours soigner les justifications d’intégrabilité ou de convergence de l’intégrale.

Des questions  possibles (favoriser notamment les énoncés précis des théorèmes !) 

  • Citer très précisément les deux théorèmes d’intégration d’une limite (celui avec  la CVU sur un segment vs le T.C.D. de Lebesgue) : lesquels sait-on démontrer 🙂 ?
    • Donner un exemple d’une suite de fonctions (f_n) qui Converge Uniformément  sur un intervalle I (non borné) vers une fonction f et telle que l’intégrale sur I des f_n ne converge PAS vers l’intégrale sur I de f (étalement de la bosse : un dessin peut suffire, une fois transformé en fonction affine par morceau).
  • Application du T.C.D. avec des « bornes variables »  exemple de la limite de Capture d’écran 2023-12-09 à 22.22.06
  • Etude des intégrales de Wallis : détermination d’un équivalent. Toutes les étapes (relation de récurrence, invariant, encadrement) doivent être mémorisées.
    • Méthode l’I.P.P fait sortir le terme prépondérant pour un équivalent, si f(1) non nul, de : Capture d’écran 2022-12-02 à 14.37.42
  • Le même équivalent par la méthode de changement de variable.
  • Savoir qu’il y a dans le programme 3 théorèmes d’intégration terme à terme et savoir les citer !
  • Intégration terme à terme d’une CVU sur un segment :
      • application aux séries entières,  comment obtenir le D.S.E. de ln(1+x) à partir de celui de 1/(1+x) sur ]-1,1[.
      •  application à la formule donnant les coefficients a_n et b_n d’une série trigonométrique  comme des intégrales sur sa somme (formule des coeff. de Fourier).
      • application au calcul de l’intégrale de e^{it}/(a-e^{e^{it}} pour a dans C privé du cercle (indice de a par rapport au cercle)
  • Théorème d’intégration terme à terme de Lebesgue en deux théorèmes : cas positif et cas signe quelconque. Donner des énoncés précis !
  • Ce qu’on fait quand le théorème ne s’applique pas (notamment en cas de Cv par théorème des séries alternées spéciales).
  • Planche I2 : Planche-I2-2025-2026,  nous avons traités les exercices 1 à 5 (sauf le cas a>1 de l’ex 4 plus difficile) sur la convergence dominée et seulement 8 et 9 sur l’intégration terme à terme mais nous poursuivons en début de semaine sur l’intégration terme à terme.

BONNE SEMAINE, AVEC LES VACANCES A LA FIN DE LA SEMAINE !

Colles de maths sem 11 : lundi 8/12

Série entières :

Dans le cours :

  • Lemme d’Abel, dém. et (prop.-)-définition du rayon de convergence.
  • Lemme de d’Alembert pour les séries entières : dém. avec le lemme pour les séries numériques.
  • Prop. ;  Capture d’écran 2022-12-10 à 09.16.22ont même rayon de convergence (au programme officiel pour alpha=1, démontrée, pour pas plus cher pour alpha réel quelconque, démo « bonus » : ne pas pénaliser les étudiants que ne l’aurait pas bien maîtrisée en première semaine)
  • Rayon de convergence d’une somme
  • Produit  de deux sommes de séries entières , produit de Cauchy des coefficients.
  • Continuité de la fonction somme dans le disque ouvert de convergence (dém).
  • Pour ce qui est de la variable  réelle :
    • Dérivation terme à terme automatique à l’intérieur de l’intervalle de convergence  pour les sommes de séries entières (dém !)
    • unicité des coefficients du D.S.E., série de Taylor, rigidité des fonctions D.S.E. (dém.) 
    • application au caractère C^infini automatique de fonctions comme le sinus cardinal en 0.
    • intégration et primitivation terme à terme automatique à l’intérieur de l’intervalle de Cv : application au D.S.E. de ln(1+x)
    • théorème d’Abel radial (admis) ; savoir l’application pour montrer que la somme de la série harmonique alternée vaut ln(2).
    • DSE des fonctions usuelles : preuve de la formule du binôme (1+x)^a pour a réel avec la méthode de l’E.D.

Sur la Planche-S3-2025-2026 :  ont été travaillés les exercices 1,2, 3 a) (rayon de Cv), ex 9, 10 (calculs de sommes) et 11, 12, 13 (calculs de D.S.E.). On approfondira les autres exercices la semaine prochaine.

Sur la banque CCINP : les élèves doivent travailler au moins 4 exercices, leur demander lesquels ont été travaillés.

Bonne semaine !

Colles maths sem 10 : lundi 01/12

Suites et séries de fonctions.

Convergence simple, uniforme, uniforme sur tout segment, normale et théorème de régularités des limites C^0,C^1, C^p (avec valeur des dérivées..) ,  intégration d’une limite uniforme sur un segment, interversion des limites, déclinés en version suites et séries.

Connaissance précise des théorèmes et application efficace des méthodes !

  • On pourra demander un énoncé précis de théorème en début de colle. On attend  du soin sur ces énoncés !
  • Démonstration du théorème de continuité d’une limite uniforme d’une suite de fonctions continues (idée importante  « couper en trois » et attention à l’ordre des choix).
  • Démonstration (facile !) du théorème d’intégration d’une limite uniforme  sur un segment.
  • Le théorème d’interversion des limites a été admis : l’énoncé doit être bien restitué en version suite et en version séries (« sommation des limites »).
  • Exemple de la fonction zeta réelle : plusieurs questions possibles : continuité,  caractère C infini, limite à l’infini 
  • Cas où le théorème d’interversion des limites ne s’applique pas : comment montrer que zeta(x) tend vers l’infini quand  x tend vers 1 avec la déf de la limite (question plus difficile bonus ci-dessous méthode plus simple avec l’équivalent).
  • Exemple de la suite des fonctions x-> n sin(x/n) méthode pour la CVU sur les segments et pourquoi on n’ a pas CVU sur R
  • Recherche d’équivalent de la somme d’une série de fonction :
    • Méthode d’encadrement par des intégrales pour un équivalent quand x->1 de la fonction zeta (encore elle !)
    • Méthode qui ramène à l’application du théorème d’interversion des limites en divisant par le candidat équivalent faite sur la somme des x/(n^a (1+nx^2))
  • Exercice de la Planche-S2-2025-2026 :   les ex 1 à 6 et 9 et 10 ont été traités et donnent déjà pas mal d’exemples de méthodes. On traitera sûrement 11 et 12 en début de semaine.
  • Exercice de la banque CCINP ; il y en a beaucoup (cf. haut de la pl S2) : les élèves doivent en travailler au moins 4 pour cette semaine, leur demander ceux qu’ils ont travaillés.

Bonne semaine !

Colles de maths sem 9 : lundi 24/11

Semaine 9 : du lundi 24 novembre : intégrales généralisées et (si possible)  compléments sur les applications linéaires continues.

  1. On commencera la colle par une étude d’intégrabilité de fonction à l’aide des théorèmes de comparaison : o, O, équivalents, majorations de l’intégrande .

2.  Thème d’Exercices possibles : 

–Notion d’intégrale généralisée  convergente/divergente sur un intervalle I.

-Notion d’intégrale absolument convergente et notion associée de fonction intégrable.

Pour les étudiants : majoration toujours de la valeur absolue de l’intégrande !

-Exemple d’intégrale semi-convergente : cas de sin(t)/t^a avec a dans ]0,1], expliquer. Savoir justifier que l’intégrale du sinus cardinal sur [1,+infini[ est convergente et non absolument convergente.

-Pratique des IPP et changement de variables.

-Théorème d’intégration des relations de comparaison, et méthode d’I.P.P. pour trouver des équivalents.

On attend un travail personnel de révision  des méthodes de CALCUL d’intégrales vues en 1ère année,  tableau de primitive à bien connaître, méthodes pour les fonctions rationnelles, ou trigonométriques … on pourra se tester aussi sur le verso de la planche I1 qui ne sera pas corrigé en classe.

Planche I1 : Planche-I1-2025-2026 on aura traité les exercices 1, 2, 3 et 5. Voir aussi les exercices de la banque cités en haut de planche.

3) Pour les élèves les plus rapides : on peut interroger, en restant très proche du cours, sur les applications linéaires continues et les normes subordonnées.

Question de cours :

-définitions équivalentes de la continuité d’une application linéaire

-définition équivalentes des normes subordonnées

-les normes subordonnées sont des normes d’algèbre

-si l’espace de départ est de dim. finie les applications linéaires sont toujours continues.

Exemples sur la banque CCINP ex 1, 36, 38, 39.

Bonne semaine !

Colles de maths sem 8 : lundi 17/11

 Ouverts, fermés, continuité 

Topologie des e.v. normés, avec comme QdC possibles :

  • définitions et caractérisations de  (au choix des personnes qui interrogent)  ouvert, fermé, adhérences, intérieurs…
  • Montrer qu’une boule ouverte est ouverte.
  • Montrer que l’adhérence d’une boule ouverte est la boule fermée
  • Exercice : Montrer qu’un s.e.v. strict est d’intérieur vide.
  • Caractérisation séquentielle des points adhérents.
  • Lien complémentaire de l’adhérence/intérieur du complémentaire (etc)
  • Ouverts et fermés relatifs, déf. et caractérisation admise.
  • déf. de la continuité en un point et caractérisation avec les voisinages.
  • caractérisation globale de la continuité : une seule implication est au programme officiel:  si f est continue de  A  dans F alors  la préimage d’un ouvert de F est un ouvert de A (resp. avec fermé) : démo. non exigible, par contre : savoir bien la mettre en oeuvre pour montrer que tel ensemble est ouvert ou fermé.
  • Savoir justifier qu’une application donnée est continue : théorème d’opération, continuité des formes coordonnées, et donc des fonctions polynomiales ou rationnelles.
  • Définir ce qu’est un homéomorphisme et pourquoi l’image d’un ouvert par un homéo est un ouvert. Donner. un exemple de fonction continue bijective qui n’est pas un homéo.
  • Sur la planche T2 : les exercices 1 à 14 sauf 7.  Planche-T2-2025-2026. 

Le paragraphe sur les applications linéaires continues et normes d’opérateurs n’a pas encore été vu.

Bonne semaine à tout le monde.

Colles de maths sem 7 : lundi 10/11

Thème : espaces vectoriels normés : normes et suites, séries avec révisions sur les séries numériques.

  1. La colle commencera par un exercice de révision sur les séries numériques, assez élémentaire avec une série de terme général u_n explicite dont on détermine la nature avec les outils des développements asymptotiques et autres majorations. Pour les élèves : ce calcul ne doit pas occuper plus de 15 minutes, si possible moins (Les DL les DL les DL les DL,  et potiron et  O(1/n^2) nos amis).

2. Sur le cours nouveau : normes et suites/séries dans un e.v.n. voici quelques questions de cours possibles : 

  • Montrer que la norme infinie sur l’espace des fonctions bornées sur un ensemble quelconque  valeurs dans K, à est bien une norme (on sera très précis pour les arguments sur les sup.) (attention pour les étudiants le sup n’est pas supposé être un max.)
  • Comparer N_1,N_2,N_infini dans R^n (inégalités).
  • Montrer que N_1 et N_infini ne sont pas équivalentes dans C([0,1],R).
  • Théorème pour les produits de limites de suites dans une algèbre normée (c’est à dire munie d’une norme d’algèbre, avec démonstration)
  • Justifier que dans un evn de dim. finie, la convergence d’une suite se vérifie « coordonnée par coordonnée ».
  • Justifier que dans un evn de dim. finie, une série absolument convergente est convergente.
  • Justification de l’existence de l’exp. matricielle
  • Calcul de l’exponentielle d’une matrice diagonalisable, justifier.
  • Pour ce qui est de la planche T1 : tous les exercices ont été traités sauf le 9, le 11 f),  le 14, le 15 c) et le 17. Planche-T1-2025-2026

3. Un exercice inconnu sur la demi heure restante (pour   la Colle idéale !) 

Bonne semaine à tout le monde !

Site à jour en maths…

Rebonjour, je viens de mettre en ligne :

-page DM une solution du DM 4, ainsi que, pour les 5/2 par exemple un sujet CCM¨P sur le même thème, l’énoncé du DM5 que vous avez en papier

-page plan du cours et compléments : le cours du T1 que vous devez travailler ainsi que la planche T1;

Si cependant il manque encore quelque chose merci de me le signaler

rb

P.S. pour les gens qui ont des tipe avec moi, n’oubliez pas votre tipe ! Je vais écrire qq topos pour certains… à suivre

Colles de maths sem 6 : rentrée 03/11

Semaine 6 du lundi 3 novembre 2025 : 

Toute la réduction des endomorphismes (trigonalisation comprise, à tous les sens du terme), et révisions ses programmes d’algèbre linéaire et d’algèbre générale précédents (en fait programmes 2 à 5).

  • Trigonalisation : démonstration par récurrence du théorème qui dit qu’un endomorphisme ayant polynôme annulateur scindé est tz.
  • Caractérisations des nilpotents en termes de v.p. dans C et autre (des équivalences très simples !)
  • Théorème de décomposition sur les s.e.v. caractéristiques : il donne une tz précisée : énoncé et démonstration.
  • Les élèves doivent savoir conduire la trigonalisation concrète d’une matrice 2x 2, et d’une matrice 3 x 3  donnée (exemples en cours et mieux trigonalisation sous forme de Jordan vue en exercice pour ces tailles 2×2 et 3×3)..

Format de cette  colle de révision : 

1) Un exercice connu qui peut être :

 2) Un exercice inconnu

Bonnes vacances (avec deux exos ccinp par jours !).