Colles de maths sem 12 : lundi 15/12

Semaine 12 du lundi 15 décembre Suites d’intégrales : convergence dominée et série d’intégrales et intégration terme à terme.

D’abord révision du  chapitre I1 sur l’intégralibilité , notamment toujours soigner les justifications d’intégrabilité ou de convergence de l’intégrale.

Des questions  possibles (favoriser notamment les énoncés précis des théorèmes !) 

• Citer très précisément les deux théorèmes d’intégration d’une limite (celui avec  la CVU sur un segment vs le T.C.D. de Lebesgue) : lesquels sait-on démontrer 🙂 ?
  • Donner un exemple d’une suite de fonctions (f_n) qui Converge Uniformément  sur un intervalle I (non borné) vers une fonction f et telle que l’intégrale sur I des f_n ne converge PAS vers l’intégrale sur I de f (étalement de la bosse : un dessin peut suffire, une fois transformé en fonction affine par morceau).
• Application du T.C.D. avec des « bornes variables »  exemple de la limite de
• Etude des intégrales de Wallis : détermination d’un équivalent. Toutes les étapes (relation de récurrence, invariant, encadrement) doivent être mémorisées.
  • Méthode l’I.P.P fait sortir le terme prépondérant pour un équivalent, si f(1) non nul, de :
• Le même équivalent par la méthode de changement de variable.
• Savoir qu’il y a dans le programme 3 théorèmes d’intégration terme à terme et savoir les citer !
• Intégration terme à terme d’une CVU sur un segment :
  • • application aux séries entières,  comment obtenir le D.S.E. de ln(1+x) à partir de celui de 1/(1+x) sur ]-1,1[.
    •  application à la formule donnant les coefficients a_n et b_n d’une série trigonométrique  comme des intégrales sur sa somme (formule des coeff. de Fourier).
    • application au calcul de l’intégrale de e^{it}/(a-e^{e^{it}} pour a dans C privé du cercle (indice de a par rapport au cercle)
• Théorème d’intégration terme à terme de Lebesgue en deux théorèmes : cas positif et cas signe quelconque. Donner des énoncés précis !
• Ce qu’on fait quand le théorème ne s’applique pas (notamment en cas de Cv par théorème des séries alternées spéciales).
• Planche I2 : Planche-I2-2025-2026,  nous avons traités les exercices 1 à 5 (sauf le cas a>1 de l’ex 4 plus difficile) sur la convergence dominée et seulement 8 et 9 sur l’intégration terme à terme mais nous poursuivons en début de semaine sur l’intégration terme à terme.

BONNE SEMAINE, AVEC LES VACANCES A LA FIN DE LA SEMAINE !