Auteur : romainbondil

Semaine 6, Lundi 18 octobre : réduction des endomorphisme (fin) : trigonalisation (mais pas que …)

Questions de cours possibles :

• Théorème : L est tz ssi L admet un polynôme annulateur scindé.
• Théorème de décomposition sur les sous-espaces caractéristiques si le polynôme caractéristique est scindé.
• Savoir faire : trigonalisation  des matrices 3×3, avec des améliorations dans l’esprit des  ex. 3 et 4 pl. R3.
• Toute la planche R3 a été traitée en classe sauf l’ex. 9 et peut donc être posée en « QdC ». : PlancheR3

Après cette QdC, on peut aussi poser un exercice de la Banque CCINP dans la liste suivante :

Ex. 65, 67, 68, 69, 70, 88. (Pour les élèves c’est aussi la liste des exercices pour l’I.E. de mardi).

La semaine suivante, ce sera les vacances !

Bonjour,

voici une solution (merci prepas.org) pour le sujet de ce matin CCP-2012 MP.

(Dans ledit sujet, le problème était précédé de deux petites questions d’arithmétique, d’où le début du corrigé. Je vous laisse encore réfléchir pour finir la partie ‘bonus’ qui est une jolie application de la décomposition D+N.

Culturel : l’application Phi_A du sujet s’appelle la « représentation adjointe » ad_A : X -> [A,X]=AX-XA, où le crochet [A,X]=AX-XA s’appelle crochet de Lie et M_n(K) avec ce crochet est ce qu’on appelle une « algèbre de Lie ». Beaucoup de sujets d’écrits d’algèbre linéaire verront apparaître ce crochet, car cette structure est très utile.

Semaine 5, Lundi 11 octobre : réduction des endomorphismes : tout sauf la trigonalisation.

Questions de cours possibles :

Chapitre R1 : dém. des résultats suivants :

• P(A) est inversible ssi P est premier avec le polynôme minimal de A.
• Les valeurs propres de A sont exactement les racines du polynome minimal.
• Exercice important ; polynôme minimal d’une matrice diagonale par bloc
• Cas particulier du polynôme minimal d’une matrice diagonale
• Savoir donner toutes les CNS de diagonalisabilité de la fin du R1, plus une C.S. bien connue : n v.p. distinctes en dim. n

Chapitre R2 : dém. des résultats suivants :

• Le polynôme caractéristique d’un endo. induit divise le poly. caract. initial.
• Déf. de la multiplicité algéb. et géom d’une v.p et dém de l’inégalité qui les relie
• CNS de diagonalisabilité avec le polynôme caractéristique.

Les exercices de la banque CCINP marqués en haut des planches R1 et R2 ne SONT PAS exigibles cette semaine, ils le seront la semaine suivante. En revanche, la plache R1 a été traitée intégralement en classe, ainsi que tout le recto de la planche R2.

Il est donc tout à fait pertinent de tester si les étudiant savent refaire l’un de ces exercices.

PlancheR1PlancheR2

Bonsoir,

il n’est pas nécessaire d’amener d’ordinateur pour demain, nous travaillerons à rafraîchir nos connaissances de Sql.

A demain !

Avec sûrement des coquilles que je corrigerai avec vos copies, voici une première version DM3-2021-2022-sol.

Ryan m’a fait remarqué que nous n’avions pas corrigé cet exercice. En voici une solution peut-être un peu « conceptuelle » avec des lemmes à prouver en exercice (le lemme 2 est spécialement utile). Du coup cet exercice n’est pas exigible pour la petite interro de demain sur lesdits exercices 🙂

Sol-ex-13-plR0

Bonjour, suites à vos remarques voici une version plus claire de l’énoncé du DM3, normalement j’avais déjà repris ces remarques au fil de l’eau : la déf. de l’application C_{f_1,..f_n} au début du Pb, le x=(x_1,..,x_n) au 1), le « montrer que » qui manquait au 4)c) et au 8) je précise que les e.v. considérés sont de dimension finie.

bonne fin de DM aujourd’hui 🙂

DM3-2021-2022

Semaine 4, Lundi 4 octobre : algèbre linéaire avec un petit peu de réduction.

La première partie du cours sur la réduction a été faite  mais nous n’avons pas eu le temps de faire beaucoup d’exercices. En revanche, nous avons passé du temps sur la planche R0 donnée la semaine dernière, dont il serait bon de vérifier que les exercices ont bien été assimilés. Donc un programme un peu dissocié entre cours et exercices, comme suit : 

• Il serait bon demander de refaire un exercice 1 à 23 (sauf 11) de la PlancheR0 
• Pour la réduction on restera très proche du cours, en posant aussi si possible des questions de cours (liste suivante non exhaustive) :
  • • Enoncer et démontrer le théorème de réduction grossière par le rang (version géométrique et version matricielle, dém. géom.)
    • Montrer que les s.e.v. propres d’un endomorphisme sont en somme directe (deux démonstrations possibles)
    •  Donner un exemple d’endomorphisme dont le spectre est vide, et d’un dont le spectre est R entier.
    • Définition d’un endomorphisme diagonalisable (resp. d’une matrice dz).
    • Calculer des vecteurs propres et valeurs propres à l’aide de l’équation aux valeurs propres (exemple du cours :  transposée matrice compagnon).
    • Savoir (avec det(A-lambda I)) que les v.p. d’une matrice diagonale ou même triangulaires se voient sur sa diagonale.
    • Définir le polynôme minimal et démontrer son existence pour un endo. en dim. finie.
    • Donner (sans dém. ) le lien entre Sp(L) et les racines de mu_L (resp. d’un polynôme annulateur quelconque)
    • Enoncer le théorème de décomposition des noyaux.
    • Caractériser les endomorphismes dz à l’aide de leur polynôme minimal (sans dém.) Savoir redonner la liste des caractérisation des endo. dz donnée en fin de chapitre.

N.B. NOUS N’AVONS PAS parlé de polynôme caractéristique dans ce chapitre.

(Bien sûr la condition lambda v.p. ssi det(A-lambda I)=0 est, elle, apparue de temps à autres, voir un des item ci-dessus, mais sans qu’on s’attarde sur l’objet associé).

Pour les exercices inconnus  : on privilegiera donc le début du chapitre, l’approfondissement des exercices de sup. sur matrices équivalentes, semblables, trace, et des exemples simples d’utilisation de polynômes annulateur.

La PlancheR1 suivante sera travaillée dans la semaine.

Pour la semaine 3 du lundi 27 septembre

Révisions d’algèbre linéaire de première année, une longue planche est en cours de travail là-dessus. Les changements de bases/matrices équivalentes/matrices semblables seront repris avec la réduction donc insister plutôt sur le reste.

Et notamment :

• sous-espaces vectoriels, dimensions
• familles libres génératrices
• applications linéaires et théorème du rang
• calcul matriciel
• DETERMINANTS (pas encore refait d’exercices en classe mais n’attendez pas pour en refaire à la maison).

La longue planche suivante est en cours de travail en classe sur tout cela (ex. 1 à 6 déjà faits en classe).

PlancheR0