Auteur : romainbondil

Colles Maths semaine 7 : 8 novembre

Attention : jeudi 11 novembre férié,  prenez contacts avec vos colleurs/vos élèves, pour le décalage de cette colle (idéalement sur un autre jour de la même semaine…)

 

 Au programme : convexité, fonctions convexes d’une variable réelle, d’une part, normes sur un espace vectoriel d’autre part.

PlancheF1

Planche-T1

Questions de cours :

  • Démontrer l’inégalité de Jensen (savoir justifier si besoin la propriété de l’épigraphe invoquée).
  • Montrer que si f est convexe alors la fonction pente au point a est croissante (on peut ne traiter qu’un cas et on peut aussi parler de la réciproque).
  • Exercice :  si f est convexe sur I alors f est lipschitzienne sur tout segment de l’intérieur de I. Exemple d’une fonction convexe non continue au bord de I.
  • Caractérisation des fonctions convexes dérivables par f’ croissante et par la position du graphe  au-dessus des tangentes (on peut ne démontrer que deux implications sur les trois).
  • Ex 6 ou 7 pl. F1.
  • EVN cours : montrer que les boules sont convexes. Bonus (+1 pt) : exercice 5 c)  pl T1 réciproque.
  • Montrer que dans K^n, N_1,N_2,N_infini sont équivalentes et dessiner les inclusions de boules correspondantes (justifier d’une manière générale quelle inclusion de boule est donnée par une comparaison de normes)
  • Démontrer que N_infini dans B(I,K) est une norme.
  • Montrer que dans C([a,b],K) N_1 et N_infini ne sont pas équivalentes, traduction en terme de suites du fait qu’une norme domine l’autre.
  • Montrer qu’une série de vecteurs d’un evn de dim finie qui est absolument convergente est convergente.
  • Justifier l’existence de l’exponentielle matricielle.

DM 4 des compléments

Bonjour, voici une solution plus détaillée et commentée de la partie 1 du DM4: celle que vous avez le plus traitée et celle qui contient le plus de choses « basiques » à retenir sur ce sujet (avec le début du II), avec notamment quelques explications supplémentaires sur la démonstration de Cayley-Hamilton. J’espère qu’elle pourra vous être utile par exemple pour vos révisions… merci de vos remarques.

DM4-2020-2021-sol-partie-I

 

Solutions Ex 1,2, 4, 5 pl. F1

Rebonjour,

finalement, un courage inattendu et/ou le mauvais temps m’ont permis de rédiger aussi des solutions des ex. 4 et 5 aujourd’hui. J’imagine qu’il reste des coquilles, je serai ravi que vous les signaliez, ce qui serait une preuve de lecture. La planche F1 est donc entièrement corrigée sauf le dernier exercice 8. J’attends vos propositions de solutions par email pour cet exercice très bien sur ‘la croissance des pentes’.

PlancheF1-solutions

Compléments de cours et DS de la rentrée

Comme nous avons été obligés d’aller plus vite le jeudi d’avant les vacances, je vais reprendre par écrit la toute fin du T1 faite en cours peut-être un peu trop vite ainsi que des exercices de planche F1 et T1 non corrigés en classe. Voici une démonstration  que j’aimerais bien mettre au programme de colle de la rentrée (par rapport au cours j’ai juste rajouté un lemme mais peut-être aussi des détails de justifications). N’hésitez pas à m’envoyer vos questions commentaires (coquilles ?) sur cette démonstration que je trouve très bien pour voir votre digestion de la notion de convergence en dimension finie.

dem-CVA-entraine-CV

Tous ces compléments se retrouveront sur la page Plan de cours et compléments divers.

Pour le DS de la rentrée : algèbre linéaire, fonctions convexes et début de la topo (T1 et peut-être un peu de T2 si on le fait le mardi suivant à voir, je trouve cela pas mal le mardi en fait !) et donc comme on le voit dans l’exemple précédent, qui dit topo dit séries par exemple… bref révisons tout pendant les vacances 🙂