Auteur : romainbondil

Programme sem 10

Semaine 10, Lundi 29 Novembre :

Suites et séries de fonctions.

Pas d’exercice de la banque CCINP cette semaine, en revanche nous avons bien avancé la planche donc on peut demander de refaire des (parties) des exercices de la planche.

Comme « question de cours » :

  • Un exercice de la Planche-S2 du (1 au 10) (pour le 8 sur zeta complexe, on pourra commencer par le cas de la variable réelle, fait en exemple en cours).
  • Citer des propriétés conservées par limite simple et d’autres non conservées
  • Montrer que CVU entraîne CVS
  • Dessiner le comportement de f_n : x->n.sin(x/n) quand n varie (redimensionnement) et étudier sa CVU.
  • CVU de la série définissant la fonction zeta alternée
  • Déf. de la Convergence Normale, dém de CVN entraîne CVU
  • Théorème de continuité d’une limite uniforme sur tout segment de fonction continue (dém).
  • Enoncé du théorème d’interversion des limites. Application de la version ‘sommation des limites’ à zeta en +infini.
  • Enoncé du théorème de dérivation terme à terme (cadre C^1 puis C^p), application à zeta.
  • Recherche d’un équivalent d’une somme de série par encadrement par des intégrales cf. ex. 9 pl S2.

N.B. le théorème d’intégration d’une limite uniforme sur un segment n’a pas été vu cette semaine, il sera repris la semaine prochaine dans le cadre du chapitre sur les intégrales.

Programme colle sem 8

Semaine 9, Lundi 22 Novembre :

Même cours que la semaine dernière  avec en plus seulement la caractérisation de la continuité des applications linéaires et la notion d’homéomorphisme.

Le cours a connaître reste à part cela celui des deux semaines précédentes (normes suites/séries d’un evn, et langage de la topo ouvert/fermé/continuité). Mais cette semaine on se concentre sur les exercices :

  • La semaine passée a permis de faire tous les exercices de la  PlancheT2 jusqu’au 11 compris :  on pourra poser ces exercices en « question de cours ».
  • Notamment on pourra profiter de la topo pour approfondir l’algèbre linéaire (cf. planche).
  • On pourra poser un exercice de la banque CCP entre les numéros 33 et 45 (sauf celui sur les E.D. 🙂
  • On pourra aussi s’intéresser à l’interaction entre la topologie et l’analyse réelle (suites denses, propriétés de fonctions…)
  • Nous n’avons pas eu le temps d’aborder la notion (encore hors programme pour un an) de norme subordonnée en classe (seulement  en devoir pour les matrices et résultats généraux donnés sur le poly de cours) :  les colles peuvent être l’occasion d’une « activité de découverte » sur ce sujet, pour les élèves les plus à l’aise.

DS 3 Centrale : solution.

Voici pour le sujet Centrale pour les 5/2 : pour les 3/2 il fallait d’abord apprendre un peu les bases sur rayon spectral et norme multiplicatives déjà vues par les 5/2. Vous trouverez dans la Partie I de ce sujet exactement ce qui était admis dans l’autre sujet : l’implication rho(A)<1 entraîne A^k -> 0.

CentraleMP2016-sol (pris sur http://concours-maths-cpge.fr).

DS3-2021-2022-sujetCentrale

Le sujet a des côtés un peu algorithmiques,  il s’agit de matrices de graphes. (Il est aussi démesurément long).

 

DS 3 sujet CCINP : solution

Bonjour,

voici une solution du sujet CCP 2002 PC prise sur concours-maths-cpge.fr

(j’ai seulement modifié 3 questions du sujet et du corrigé).

Je vous conseille (5/2 compris) de (re)travailler la partie II sur les normes matricielles subordonnées pour la semaine prochaine, nous en reparlerons en cours. Bon début de w.e.

DS3-2021-2022-sujetCCP-sol

DS3-2021-2022-sujetCCP

Programme Colles Sem. 8.

Cette semaine, des ouverts, des fermés, des applications continues. Cependant, l’avancement du cours n’a pas permis de faire beaucoup d’exercices donc on restera très proche du cours.

Pas d’exercice de la banque CCINP cette semaine. On les mettra en Semaine 9 suivante.

Questions de cours :

  • définition d’un ouvert, montrer qu’une boule ouverte est un ouvert
  • définition d’un fermé, montrer qu’une boule fermée est un fermé.
  • montrer que l’intérieur de A est le plus grand ouvert inclus dans A
  • montrer que l’adhérence de A est le plus petit fermé contenant A
  • Exercice : intérieur d’un s.e.v.
  • Caractérisation séquentielle des points adhérents
  • Caractérisations des parties denses
  • Déf. et caractérisation des ouverts relatifs (ou induits)
  • Déf et caractérisation des fermés relatifs.
  • Déf de la continuité d’une application, et caractérisation en terme de voisinage.
  • Caractérisation de la continuité avec la préimage des ouverts (resp des fermés).
  • Continuité des formes coordonnées en dim. finie.
  • Les applications linéaires de K^n dans K^m sont continues.
  • Exercice : le déterminant est continu puis l’inversion de matrice est continue.
  • Exemples de descriptions d’ouverts/ fermés comme préimages continues d’ouverts, de fermés.

La PlancheT2 n’est pas exigible pour les colles de cette semaine. Ce programme sera reconduit, en y ajoutant la continuité des applications linéaires, la semaine prochaine. On peut encore poser des exercices sur le programme de la semaine précédentes (normes et suites). Bonne semaine.

Sol Ex 6 pl T1

Bonjour,

voici une rédaction concise de l’ex 6 pl T1 corrigé en classe. En classe nous avons utilisé, en suivant vos idées,  le cours tout frais du T2 sur l’équivalence entre « Z est d’intérieur vide » et « le complémentaire de Z est dense », mais j’ai peur que la solution ainsi rédigée ait fait peur à des gens.. voici une solution beaucoup plus élémentaire.  Vous la retrouverez aussi sur la page compléments de cours…Capture d’écran 2021-11-11 à 11.03.59