Comme remarqué par e-mail par Vincent L, cet exercice est en fait un cas particulier de la remarque que nous avions faite après le c) de l’ex. 6 pl. 40.
Comme f^3=0 mais f^2 !=0, il existe un v dans E tel que f^2(v)!=0. Fixons un tel v, et considérons la famille (v,f(v),f^2(v)). Le résultat de l’ex. 6. c) pl. 40 dit que cette famille B=(v,f(v),f^2(v)) est libre. Comme B est une famille libre de trois vecteurs dans un e.v. de dim. 3, B est une base.
Dans cette base B, la matrice de f est celle demandé.
Remarque/question : quelle est la matrice de f dans la base (f^2(v),f(v),v) ?
Une solution d’Alba pour cet exercice important qui permet de bien se familiariser avec les matrices nilpotentes
La propriété du produit des matrices TS dont Alba parle, c’est bien sûr que l’entrée (i,i) du produit AB avec A et B TS est simplement le produit A(i,i).B(i,i).
Pour la puissance k-ième cela donne A^k (i,i)=(A(i,i))^k.
Noter qu’il faudrait un autre nom de variable que n à priori car n est déjà la taille de la matrice. Mais en fait, ce n’est pas grave car l’indice r de nilpotence d’une matrice nxn est toujours inférieur ou égal à n, comme on l’a démontré déjà en exercice sur les endomorphismes nilpotents.
Au b), Alba utilise le résultat sur la propagation des rangées de zéros démontré à l’exercice 2 : il faudra une ou un volontaire pour rédiger cet exo (j’ai une rédaction de Jean, mais Jean a déjà contribué, il faut une nouvelle personne). Voici ce que cela donne :
Cela dépend comme on numérote les diagonales : avec les notations de l’ex. 2. la diagonale principale s’appelle diagonale 0, et pour A^2 c’est donc la première diagonale supérieure qui s’annule donc pour A^k, ce sont les k diagonales supérieures de numéro 0 à (k-1).
Par ailleurs on ne parle pas de la ‘dimension’ de A, on garde le mot dimension pour les e.v. On parle de la taille par exemple.
Pour le c) pas de problème :
Noter que le contre-exemple d’Alba est fabriqué avec les matrices E_{1,2} et E_{2,1}.
Toujours essayer les E_{i,j} ce sont des usines à contre-exemple !
Cet exercice aborde le problème d’existence d’une « racine carrée pour la composition » pour certaines applications linéaires. Notez que nous nous sommes posés des questions analogues pour certaines fonctions (continues) de R dans R sur les planches du chapitre F1.
Le a) concerne la dérivation des polynômes, voici la bonne solution de Nizar, qui utilise la propriété de la suite des noyaux établie dans l’exercice 5 corrigé par Johanna.
Là, Nizar redémontre ce qu’a fait Johanna donc je ne le reproduis pas, mais c’est bien sûr nécessaire pour faire les exercices de manière autonome.
Le b) montre que sur un autre espace vectoriel, en l’occurence la droite vectorielle engendrée par une fonction de type x-> exp(a.x), la dérivation admet une racine carrée pour la composition. En fait, ce n’est pas bien sorcier, car sur cette droite vectorielle, la dérivation agit comme une homothétie (on dit que cette droite D est une droite propre de l’opération de dérivation cf DM 14) , et c’est assez facile de voir ce que c’est la racine carrée, pour la composition, d’une homothétie. Pour le cas réel, on prend a >0.
Voici la rédaction de Nizar là-dessus.
Il faut ici faire TRES attention aux notations !! Dans la fin de la rédaction de Nizar, la notation f désigne un opérateur (une application linéaire) de E dans E. Alors qu’au début de cette même question il désigne par f un élément E…
Il aurait peut être été préférable, pour que tout le monde comprenne, de dire par exemple : T : E-> E, f -> sqrt(a) f est tel que T^2=D.
Nous nous étions arrêtés après les quatre premiers exercices de cette planche.
Voici une belle solution par Johanna, très bien rédigée, pour l’exercice 5 qui est un grand classique, à bien connaître aussi bien pour son résultat que pour ses méthodes. Bien noter les différentes étapes de la solution au b).
D’abord elle montre par l’absurde que la suite des noyaux ne peut pas être indéfiniment strictement croissante.
Mais ensuite ce n’est pas fini : le résultat essentiel de cette question c’est que dès que la suite des noyaux fait une pause elle s’arrête définitivement !
Bonus : on peut montrer, mieux, ce n’était pas dans l’énoncé de l’exercice, mais c’est aussi un résultat important au niveau supérieur pour cette théorie, que la suite des noyaux « s’essouffle » c’est-à-dire fait des pas de plus en plus petit, précisément que la suite des dim Ker u^{i+1}-dim Ker u^i est décroissante. (Attention, vous l’aurez sûrement en colle pour certains à la rentrée :-). Remarquer aussi que ce résultat d’essoufflement donne aussi le sens « difficile » de l’exercice 6 donc cela peut être rentable pour d’autres exercices. 🤗
Pour le e) vous noterez la ressemblance avec l’exercice 4 : en fait avec les notations de Johanna l’exercice 4 est le cas particulier N=1.
Le Pl. 41. Ex 7 b) étant un redite de l’ex. 6., voici un extrait du sujet de l’E.N.A.C. de cette année (vous savez cette école qui n’existera que tant que les gens n’auront pas compris que dans l’objectif du réchauffement à 2° C un SEUL aller retour aux U.S. en avion épuise la TOTALITE de vos émissions autorisées de CO2 pour une année) :
Une solution qui m’a l’air bien soignée sur les indices, due à Evan, bravo à lui.
Avec d’abord une petite partie pédagogique pour voir où on va …
Une version tapée, une peu abrégée :
Puis une méthode 2 ‘géométrique’, j’aimerais bien savoir si vous y comprenez quelque chose, mais il faudra y revenir de vive voix: la question importante qui est derrière est
Que représentent les blocs géométriquement pour l’A.L. canoniquement associée ?
A part cela, je pense que cette rédaction va vous noyer mais garder la question précédente en tête pour la semaine prochaine.
Un exercice où Jean s’est beaucoup battu avec ténacité contre les indices, voici sa solution suivie de la même idée tapée pour que vous y voyiez peut-être plus clair, avec une petite correction sur la puissance du (-1) à la fin par rapport à Jean :
Méthode 2 (Cyprien) : pas complètement aboutie chez ce dernier mais bon point de départ que je développe ici (pour changer un peu on divise par b au lieu de a ce qui change un peu l’ordre des cas mais rien de plus).
Nous avions laissé cet exercice en suspens… en attendant d’être plus familier ou familière avec les matrices et surtout notre nouvelle amie la base canonique des E_{i,j} dans M_n(K). Mais maintenant cela doit aller mieux non?
Ce à quoi il faut bien faire attention c’est que m_A est un endomorphisme de l’espace M_2(K) (lire cette phrase lentement , à voix haute). Autrement dit m_A est un élément de L(M_2(K)).
Son noyau est un s.e.v de M_2(K) que Samy a bien trouvé :
Mais ensuite il s’est un peu perdu sur ce qu’était l’image de m_A, et la matrice de m_A dans la base canonique de M_2(K) : déjà quelle sera la taille de cette matrice ?
Comme nous avons à peu près fini la planche 43 avec les solutions données ce matin, à l’exception de l’exercice 9, voici une compilations des solutions de ces exercices dans un fichier.
Nous reparlerons de l’exercice 9 lundi prochain de vive voix, parce qu’il est important du point de vue conceptuel sur la construction de corps. D’ailleurs j’ai très envie de vous donner un bonus pour prolonger l’exercice 9, qui devrait faire plaisir à Gabriel…. à venir dans un autre message….
Les corrigés ne sont pas tous très détaillés et je renvoie aux images scannées des rédactions de vos camarades pour les détails éventuels.
joffremp2 