joffremp2

Rebonjour, je vous signale qu’Izia a complété le calcul de la méthode 2 de l’ex. 4 pl. 43.

et corrigé une coquille dans la solution tapée de l’ex. 8 pl. 43.

Tout cela a été modifié sur les articles correspondants.

Bien sûr à la fin je vous donnerai une version tapée des solutions de toute cette planche.

bonne journée ensoleillée et ventée

rb

Le dernier exercice pour aujourd’hui : comme la solution d’Arthur G pour l’ex. 5 était très courte, je lui redonne la parole pour l’ex 7.

Attention : pour les exercices suivants il faudra de nouveaux contributeurs ou nouvelles contributrices !

Normalement, en dessous il y a un lien Amazon pour acheter une ardoise velleda non? hum…

D’abord Arthur G vous montre que le calcul tient sur son ardoise velleda :

Maintenant si on veut détailler avec la définition du produit de matrices, on peut tout écrire comme Théa :

Sa rédaction commence par « Soient i et j dans [1,n] » (sur une autre feuille non scannée) ♥️

Suite de la solution de Théa, dans un style « suite implacable d’équivalences » tout à fait juste.

Peut-être que la condition de la 5-ième ligne avec un « ou » ne sera pas parlante pour tous, mais la version contraposée de la ligne d’après est plus claire.

Au total Théa a ainsi montré qu’il n’y a QUE les matrices diagonales qui commutent à D : bien sûr on savait déjà que les matrices diagonales commuteraient avec la matrice diagonale D (oui, dites moi que vous le saviez !) mais pas que ce sont les seules. Et le c) montre bien que ce résultat n’est pas général avec un exemple où il y a plus de matrices qui commutent à D que les seules matrices diagonales.

Question bonus : pour voir si vous avez lu jusqu’au bout… combien répondront (?) : pour toute matrice D, le commutant C_D est toujours un K-ev. (mieux une sous-algèbre de M_n(K). Quelle est la dimension de C_D pour la matrice D du c)?

Bonjour, voici d’abord le bon calcul de Samy pour le a) de cet exercice qui s’échauffe sur le cas n=3 comme je le conseillais (3 ou 4)

Notez bien que le « ainsi » entre le cas n=3 et le cas n qcq est abusif… Il faudrait dire plutôt que le calcul pour n quelconque se fait avec la définition du produit matriciel. C’est ce que Théa rédige dans les images en dessous de la première.

Une petite remarque sur la compréhension de ce produit en lignes ou en colonnes :

A la fin de l’article sur l’ex. 4. je parle de l’intérêt de la formule du binôme (A+B)^n pour deux matrice A et B qui COMMUTENT… (avec A=I).

Dans cet exercice, Gabin la met en action avec (I+E)^n où E est la matrice remplie de 1.

Ensuite il suffit d’avoir une formule pour les E^k pas difficile E^k= 3^{k-1} E mais 🧐 elle ne MARCHE PAS pour k=0.

C’est pour cela qu’il ne faut pas oublier de mettre ce terme à part dans la somme.

Il n’y aura pas d’autres solutions sur le site avant Lundi, mais vous pouvez continuer à m’envoyer vos solutions bien sûr !

Voici une version tapée, avec une coquille corrigée par Izia (merci Izia!)

Voici l’exercice 6 qui semble ne pas avoir posé trop de problème : attention, j’ai besoin de nouveaux candidat(e)s pour les exercices suivant lundi !

bon w.e.

J’ai reçu DEUX rédactions de cet exercice « facile » où les personnes ont bien pris soin de rédiger la récurrence c’est bien, mais dans les DEUX j’ai vu un P(n) : « pour tout n » … AIE… le chapitre A(IE!).

Autre chose : en maths (contrairement au langage des sciences expérimentales) quand on pense qu’un truc est vrai, et qu’on va le montrer, on ne dit pas ‘on suppose’, on dit ‘on conjecture’, c’est ainsi.

Remarque 1 : bien que facile cet exercice est intéressant pour son résultat car ces matrices apparaîtront comme « bloc » à l’intérieur d’autres matrices plus grosse notamment avec b=1 (on sera des « blocs de Jordan » particulier).

Remarque 2: on peut aussi faire cet exercice autrement en écrivant A=aI+ b J et en utilisant la formule du binôme car I et J commutent. Si quelqu’un lit cette remarque et m’envoie son calcul je le rajouterai, et cela me montrera que le post a été lu jusqu’au bout (je rêve là).

Ajout le 19/04 : j’en avais rêvé Izia l’a fait (d’autres aussi Némo, Iokanaan…) mais c’était la première contribution d’Izia :

Bonjour, certains ont du mal à faire des calcul en nxn avec la définition du produit de matrice, c’est normal au début.

Je pense qu’ils peuvent s’entraîner en 4 x 4 (non polluant ceux-là). Si vous comprenez le calcul en taille 4×4 vous aurez moins de mal à faire la même chose en nxn.

bon courage

Exercice qui a eu beaucoup de succès, beaucoup de solutions envoyées bravo à tous.

Voici donc l’exercice 2 très bien rédigé par Arthur H.

(Une solution analogue d’Alba avec les applications linéaires canoniquement associées).

Ce sera tout pour aujourd’hui !