joffremp2

Dans cet exercice on supposait que le corps C existait, ce qui est raisonnable puisqu’on l’a construit au Chap. C2 … mais la R-algebre matricielle définie dans cet exercice fait aussi bien le travail : elle fabrique une R algèbre de dim. 2. avec un élément noté ici J tel que J^2=-1 où 1 est le neutre de l’algèbre (noté I). Ces propriétés sont l’essence de C.

Pour celles et ceux que cela intéresse : Voici un extrait d’un bien joli livre voir surtout les deux dernières pages photographiées (paragraphe 5). Le début reprend ce qu’on a fait au C2 (construction de Hamilton avec une précision supplémentaire sur le calcul des longueurs).

Rebonjour

voici une rédaction (sûrement avec des coquilles) des solutions de la pl. 42.

Rebonsoir,

voici une planche très longue qui servira aussi en fait de cours/TD sur les calculs d’inverse de matrices.

Nous ne ferons bien sûr pas tous les exercices en classes, mais cela vous donnera des exercices pour vous entraîner, dont je vous donnerai les corrigés.

Bonjour,

cette semaine encore les colles seront en distanciel. A partir de la semaine suivante, nous pourrons reprendre notre travail au lycée !

Semaine 24 : du lundi 26 avril. Algèbre linéaire et calcul matriciel.

(Bien sûr cette semaine 24 est celle qui était marquée au 12 avril dans le colloscope).

Questions de cours :

Formes linéaires : (paragraphe souvent mal compris à privilégier en question de cours).

-Qu’est-ce qu’une forme linéaire et comment est définie la matrice d’une forme linéaire en dim. finie ?

Dans ce qui suit on se place en dimension finie :

-Montrer que le noyau d’une forme linéaire non nulle est un hyperplan et faire le lien avec le résultat déjà vu sur les équations cartésiennes.

-Montrer la réciproque : tout hyperplan est le noyau d’une forme linéaire.

-Montrer que deux formes linéaires ont le même noyau si, et seulement si, elles sont proportionnelles.

-Que sont les formes coordonnées?

-Bonus (*) comment démontrer que m équations linéaires indépendantes définissent un s.e.v. de dim. n-m.

Calcul matriciel :

-Donner la formule du produit de matrices.

-Expliquer le lien entre ce produit et la composition des A.L.

-Définir ce qu’est une algèbre, que suffit-il de vérifier pour montrer qu’un sous-ensemble est une sous-algèbre?

-Donner et justifier la formule sur les produit des matrices de la base canonique.

Notes de cours détaillées :

Sur le premier chapitre : on peut poser des exercices un peu plus abstraits sur les applications linéaires et le théorème du rang. On pourra consulter les planches suivantes (pl. 42 pour les exercices abstraits).

Sur le calcul matriciel, on commencera par des exercices de niveau plus élémentaire, comme les exercices de la pl. 43 ci-dessous dans un premier temps, puis éventuellement un peu plus généraux comme pl.44

N.B. l‘étude de l’inversibilité et les calculs d’inverses seront détaillés dans le programme de la semaine suivante

Bonsoir, je vous invite à imprimer le poly ci-joint associé au cours de la semaine prochaine.

Je le mettrai aussi sur la page Programme de colles/planches.

A lundi !

Nous arrivons à la fin des solutions d’exercices. Je ne publierai plus rien sur ces exercices ce w.e., je vous laisse à vos révisions et peaufiner vos D.M.

Lundi matin nous parlerons des exercices restants :

Pl. 42 ex. 6 (avec le bonus essoufflement de la suite des noyaux)

Pl. 43 ex. 9 (éventuellement en évoquant le bonus donné dans le post précédent)

Pl. 44….

Un fait m’a frappé à l’issue de ces deux semaines : le nombre de filles de la classe qui a contribué en proposant une solution : 10/12. Chez les garçons je crois 13/34. L’éducation donnerait-t-elle aux filles davantage de sens de l’implication dans les travaux collaboratifs ?

Bon w.e.

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Sans obligation d’achat, pour ceux qui aiment les beaux corps….

Voici comment construire à partir d’un corps K donné et d’un élément a qui n’a pas de racine carrée dans K, un ‘surcorps’ de K qui contient une telle racine carrée, et cela, par la voie des matrices…

Bonne solution de Raphaël D. pour cet exercice de variations autour de la formule de Grassmann redémontré à l’ex8, et éventuellement sur la méthode de l’ex 8 (ou pas).

Le a) est vraiment conséquence directe de Grassmann.

Le b) est un plus subtil.

Méthode 1 (celle de Raphaël) : en choisissant bien les s.e.v. auxquels on applique la formule de Grassmann.

Méthode 2 : on généralise l’idée introduite dans la démonstration du Grassmann avec le théorème du rang à l’ex. 8.

c) Les deux méthodes du b) sont possibles. Raphaël a ainsi pu rependre sa méthode au c) avec une utilisation de Grassmann en cascade, saurez-vous le faire ? La méthode 2 se généralise assez immédiatement, et fait peut-être comprendre la condition donnée de manière plus intuitive ?

Remarque : Avec cet exercice, nous arrêtons pour cette semaine les solutions de cette planche.

Sauf erreur de ma part, nous avons tout corrigé sur cette planche sauf l’exercice 6, dont j’ai dit que le sens difficile venait de l’essoufflement de la suite des noyaux : peut-être quelqu’un(e) sera l’expliquer lundi ?

Bon week end !

Rebonjour,

cet exercice donne une démonstration vraiment très rapide, une fois bien comprise, de la formule de Grassmann avec le théorème du rang. Ceci illustre une fois de plus que le point de vue des applications linéaires du chapitre G est plus riche et plus souple que le point de vue des vecteurs seuls du chapitre D.

Une bonne rédaction de Ryan, qui a déjà beaucoup contribué, je publie directement une version tapée ici :

Remarque : pour un ensemble E quelconque, l’application i : E -> ExE, x -> (x,x) s’appelle souvent le « plongement diagonal » de E dans Ex E, c’est une bijection entre E et la diagonale de ExE.

Et maintenant la preuve de Grassmann, qui tient en fait en trois lignes mais je détaille beaucoup :

Bonjour, j’avais publié une solution du début du a) de cet exercice par Samy.

Voici une bonne solution complète par Manon. Noter bien qu’avec cet exercice, vous êtes armés pour faire la version plus abstraite Ex. 5 pl. 44.

Avec cette solution, la pl. 41 est complètement résolue, sauf erreur de ma part.