Programme de la semaine 25

Bonne nouvelle, nous sommes de retour au Lycée, et les colles pourront se dérouler normalement !

Cette semaine, un programme en deux parties encore :

première partie : calcul matriciel, avec plus spécifiquement le calcul d’inverse de matrices et les opérations élémentaires.

On rajoute aussi la notion de transposée d’une matrice.

seconde partie: la notion de changement de base pour les applications linéaires, et la théorie des matrices équivalentes, classification par le rang, et applications.

Attention : pas de matrices semblables cette semaine, ni de ‘réduction des endomorphismes’ cette semaine.

Sur la première partie; on a fait beaucoup d’exercice, donc les élèves devraient être assez à l’aise techniquement.

Voici la planche traitée :

planche45Télécharger

On peut encore insister sur d’autres types d’exercice de calcul matriciel et notamment avec les E_{i,j}.

Sur la seconde partie, nous n’avons pas encore eu le temps de faire des exercices, en revanche ce sera l’occasion de poser des jolies questions de cours, parmi lesquelles :

  • Définir ce qu’est une matrice de passage, et pourquoi on peut l’interpréter comme matrice de l’identité
  • Donner et démontrer la formule de changement de base pour les vecteurs
  • Donner et démontrer la formule de changement de base pour les applications linéaires.
  • Donner un énoncé précis pour le fait que « deux matrices équivalentes codent la même A.L. à condition de se donner le droit de changer de base au départ et à l’arrivée ».
  • Enoncer les deux versions du « théorème de réduction pour équivalence » (géométrique/matricielle)
  • Démonstration géométrique de ce théorème
  • Démonstration matricielle sur un exemple, avec obtention explicite des matrices Q et P.
  • Démontrer que rang(A)=rang(A^T)
  • Démontrer que m équations linéaires indépendantes dans un e.v. de dim. n définissent un sev de dim n-m
  • Donner les propriétés des matrices extraites pour le rang et démontrer l’une d’elle au choix.

Voici le plan du cours :

plan-sem-25Télécharger

La planche suivante ne sera corrigée qu’en début de semaine :

planche46Télécharger

Bonne semaine à vous !

Gabin et Vandermonde des éléments de U_n

Un email bien sympa de Gabin, qu’il m’a autorisé à vous partager :

« Je fais suite à votre exercice qui avait une sale tête.. mais qui était en fait trop bien a faire: montrer que la matrice de Vandermonde des racines n-ieme de l’unité est inversible et calculer son inverse. 
Raisonnement en deux étapes: j’ai calculé A^2, il me manquait des termes pour que ça soit beau.. puis en regardant bien la matrice on voit comment s’organisent les racines nième à l’intérieur… deux trois calculs au brouillon et non sans être guidé par les complexes et leur propriétés faites pour être utilisées ( Conjugaison ) je trouve qu’il suffit d’effectuer les calcul suivants. ( pieces jointes ) 
1h de casse tête, mais un casse tête agréable, d’autant plus que le résultat est trop beau pour être faux. ( j’espère ) »

Je vous propose une seconde solution avec la même méthode qu’au tout début de la pl. 45 : faire la somme de toutes les lignes pour utiliser le fait que la somme des racines n-ièmes de l’unité fait 0.