Colles Maths Sem. 6

Semaine 6, Lundi 18 octobre : réduction des endomorphisme (fin) : trigonalisation (mais pas que …)

Questions de cours possibles :

  • Théorème : L est tz ssi L admet un polynôme annulateur scindé.
  • Théorème de décomposition sur les sous-espaces caractéristiques si le polynôme caractéristique est scindé.
  • Savoir faire : trigonalisation  des matrices 3×3, avec des améliorations dans l’esprit des  ex. 3 et 4 pl. R3.
  • Toute la planche R3 a été traitée en classe sauf l’ex. 9 et peut donc être posée en « QdC ». : PlancheR3

Après cette QdC, on peut aussi poser un exercice de la Banque CCINP dans la liste suivante :

Ex. 65, 67, 68, 69, 70, 88. (Pour les élèves c’est aussi la liste des exercices pour l’I.E. de mardi).

La semaine suivante, ce sera les vacances !

DS 2 avec une solution

Bonjour,

voici une solution (merci prepas.org) pour le sujet de ce matin CCP-2012 MP.

(Dans ledit sujet, le problème était précédé de deux petites questions d’arithmétique, d’où le début du corrigé. Je vous laisse encore réfléchir pour finir la partie ‘bonus’ qui est une jolie application de la décomposition D+N.

ds2-2020-2021-solTélécharger

Culturel : l’application Phi_A du sujet s’appelle la « représentation adjointe » ad_A : X -> [A,X]=AX-XA, où le crochet [A,X]=AX-XA s’appelle crochet de Lie et M_n(K) avec ce crochet est ce qu’on appelle une « algèbre de Lie ». Beaucoup de sujets d’écrits d’algèbre linéaire verront apparaître ce crochet, car cette structure est très utile.

Programme de colles maths sem 5

Semaine 5, Lundi 11 octobre : réduction des endomorphismes : tout sauf la trigonalisation.

Questions de cours possibles :

Chapitre R1 : dém. des résultats suivants :

  • P(A) est inversible ssi P est premier avec le polynôme minimal de A.
  • Les valeurs propres de A sont exactement les racines du polynome minimal.
  • Exercice important ; polynôme minimal d’une matrice diagonale par bloc
  • Cas particulier du polynôme minimal d’une matrice diagonale
  • Savoir donner toutes les CNS de diagonalisabilité de la fin du R1, plus une C.S. bien connue : n v.p. distinctes en dim. n

Chapitre R2 : dém. des résultats suivants :

  • Le polynôme caractéristique d’un endo. induit divise le poly. caract. initial.
  • Déf. de la multiplicité algéb. et géom d’une v.p et dém de l’inégalité qui les relie
  • CNS de diagonalisabilité avec le polynôme caractéristique.

Les exercices de la banque CCINP marqués en haut des planches R1 et R2 ne SONT PAS exigibles cette semaine, ils le seront la semaine suivante. En revanche, la plache R1 a été traitée intégralement en classe, ainsi que tout le recto de la planche R2.

Il est donc tout à fait pertinent de tester si les étudiant savent refaire l’un de ces exercices.

PlancheR1PlancheR2

Mise à jour DM3

Bonjour, suites à vos remarques voici une version plus claire de l’énoncé du DM3, normalement j’avais déjà repris ces remarques au fil de l’eau : la déf. de l’application C_{f_1,..f_n} au début du Pb, le x=(x_1,..,x_n) au 1), le « montrer que » qui manquait au 4)c) et au 8) je précise que les e.v. considérés sont de dimension finie.

bonne fin de DM aujourd’hui 🙂

DM3-2021-2022