Auteur : romainbondil

Bonjour,

Un corrigé du DM 10 est en ligne sur la page DM (je dois encore le relire avec vos copies…)

Je rappelle que le délai pour le DM 11 est finalement jusqu’au lundi 10/02.

(Réduction des) endomorphismes d’un espace euclidien.

Un cours très riche qui demande un travail en profondeur :

• Définition de l’adjoint, écriture matricielle en b.o.n.
• Si F est un s.e.v. stable par u alors son orthogonal est stable par u*.
• Donner le plus de caractérisations possibles des isométries vectorielles avec dém de l’une d’elles au choix des colleurs..
• Donner le plus de caractérisations possibles des matrices orthogonales : attention déterminant =+- 1 n’est PAS une caractérisation de ces matrices !
• Montrer qu’une matrice orthogonale symétrique est une matrice de symétrie orthogonale et montrer que vous avez compris ce que chaque terme de cette phrase veut dire….
• Thme de classification de toutes les isométries vectorielles : énoncé, étapes de la preuve (sans prouver tous les lemmes utilisés, démo au choix parmi ces lemmes)
• Théorème spectral sur les  endomorphismes auto adjoints : étapes de la preuve (sans prouver tous les lemmes utilisés démo au choix parmi ces lemmes).
• Pour f dans L(E), justifier que f est entièrement déterminé par sa forme bilinéaire associée (x,y)-> (x|f(y)). Si f est auto adjoint alors cette forme bilinéaire, symétrique, est entièrement connue si on connait la forme quadratique (mot H.P)  q_f : x-> (x|f(x)), pourquoi  ? (formule de polarisation pour q_f). Ecriture matricielle de ces objets.
• Ecriture de la forme quadratique x-> (f(x)|x) dans une b.o.n. de dz. de f auto adjoint , application à une caractérisation de la plus grande et de la plus petite v.p. de f.
• Définition des autoadjoints positifs (resp. matrices symétriques positives) et caractérisation par le spectre.
• Nous avons pris  le temps de faire beaucoup d’exercices, presque toute la planche R4 ci-jointe. Planche-R4-2024-2025
• Exercices banque ccinp (non ‘exigibles’ mais si vous avez le temps pour réviser ) : ex 63, 66, 68, 78.

Le sujet avec son corrigé sont en ligne sur la page DS.

Révisions et compléments sur les espaces préhilbertiens et un peu d’approximation dans les espaces de fonctions.

• Définir le produit scalaire canonique de R^n, dans M_{m,n}(R) (deux expressions montrer qu’elles coïncident)
• Produit scalaire dans l^2(N,R) (justifier la convergence de la série…)
• Produit scalaire dans L^2,continue(I,R) (justifier la convergence des l’intégrale)
• (Les justifications des  exemples précédents n’ont pas tous été détaillés en classe ou bien ont été  faites dans d’autres chapitres (I1 pour L^2(I,R), ne pas hésiter à me demander en cas de pb).
• Expliquer pourquoi le p.s. est une application bilinéaire CONTINUE (savoir la caractérisation des appli. bilinéaires continues).
• Montrer que l’orthogonal d’une partie dense est réduit à {0}.  Application au ‘lemme des moments’ (Banque CCINP 48 même si le corrigé de la banque est formulé sans produit scalaire, voir la rédaction faite en classe !).
• Lemme de représentation de Riesz pour les formes linéaires d’un espace euclidien.
• Montrer que l’orthogonal d’une partie A de E est un s.e.v. fermé de E.
• Existence d’un supplémentaire orthogonal pour un s.e.v. de dim. finie d’un espace préhilbertien.
• Formule de calcul de la projection orthogonale quand on connait une base orthogonale de ce s.e.v. : applications sur des exemples, cas des sommes partielles de la série de Fourier de f.
• Le projeté orthogonal d’un vecteur v  sur un sev F est l’unique vecteur de F qui  minimise la distance entre v et les vecteurs de F.
• Mise en oeuvre de l’orthogonalisation de Gram-Schmidt sur des exemples.

On insistera sur les calculs de projections orthogonales qui doivent être bien compris

Pour les étudiantes et étudiants les plus à l’aise on peut aussi donner en second exercice un exercice sur l’approximation en norme infinie (théorème de Weierstrass démontré en T.D. par convolution avec approximation de l’identité).

sur la Planche-T3-2024-2025 ci-jointe, les exercices 1 à 3 n’ont pas été traités en classe. (La rédaction du 1 est très élémentaire car c’était un énoncé pour les 1ère année…)

Les exercices du type 5 et 6 sont vraiment très basiques et importants pour tout le monde !

Très  long sujet de Centrale PSI  2012, j’ai modifié l’ordre des questions à la fin pour mieux faire apparaître les deux points de vue distincts pour l’étude de l’E.D.

C’est ici DM9-2024-2025-sol et sur la page DM.

Bonjour,

voici le D.M. pour la rentrée sur la transformée de Laplace, avec plein de résultats classiques recoupant des choses déjà vues, donc vraiment bien pour asseoir tout cela.

DM9-2024-2025

Vous le retrouverez sur la page DM. La Q14 f) propose une méthode de solution du dernier exercice de la planche I3, différente de celle par IPP que j’avais suggéré à  Maeva et que peut-être elle voudra bien nous rédiger, comme super héroïne…

Dans l’immédiat bon Noël

rb

P.S. Je vais essayer de mettre assez vite le corrigé du DM 8 sur la page DM…

Semaine 14 du lundi 13  janvier : révision de toute l’analyse sur les suites,  séries de fonctions, et intégrales (chapitres S et I) et un petit peu de topologie.

La colle commencera par un exercice de la banque CCINP

• exercices 1 à 30 sauf l’ex 13,
• exercices 43 à 54 sauf l’ex 48 et l’ex. 52

Au total cela fait une quarantaine d’exercices c’est beaucoup ! Cela ne s’improvise pas. Cela Faites bien attention aux exercices sur les applications linéaires continues qui porte sur le cours fait récemment (ex. 1, 38, 54) et sont plus conceptuels.

Une fois cet exercice fait : un exercice  » inconnu »  encore sur suites/séries de fonctions ou intégrales (inconnu ou bien tiré des planches déjà faites !)  ou bien sur les applications linéaires continues et le calcul de la norme d’opérateur (nous avons fait les exercices 13 à 17 (le 14 seulement en partie) de la planche T2 ci-jointe.Planche-T2-2024-2025

Semaine 13 du lundi 6 janvier : intégrales à paramètres.

Pour ce qui est des trois  théorèmes du cours   :

• version à variable continue du théorème de convergence dominée,
• théorème de continuité pour les intégrales à paramètres
• théorème sur le caractère C^k des intégrales à paramètres

je cite le programme officiel :

« Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de régularité par rapport à x et de domination, sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux par rapport à t »

On a choisi néanmoins des les expliciter par prudence par rapport aux personnes examinatrices plus pointilleuses.. en hypothèse (H0) un peu triviale.

Le cours est fait autour de trois fils rouges : transformée de Laplace, transformée de Fourier et fonction Gamma.  Les exemples faits qui sont tous des exercice à savoir refaire (pas des résultats du programme) sont les suivants :

• Continuité de la TF (transformée de Fourier) d’une fonction intégrable
• Continuité sur ]0,+oo[ de la TL (transformée de Laplace) d’une fonction c.p.m.  bornée, extension à la variable complexe.
• Théorème de la valeur initiale pour la transformée de Laplace dans le cas facile d’une fonction bornée : L(f)(x)=f(0)/x+ o(1/x) quand x–>+oo.
• Lemme de Riemann-Lebesgue dans le cas facile où f est de classe C^1 et f et f’ sont intégrables :  F(f)(x) –>0 pour x–>+oo
• Caractère C^1 et dérivation de la TL du sinus cardinal sur l’ouvert ]0,+oo[ : application au calcul de cette Transformée.
• Calcul de la dérivée p-ième de la TF d’une fonction f  telle que pour tout k=0,1,..p, la fonction t-> t^k f(t) doit intégrable. (Si ceci est vrai pour tout p, on dit que la fonction est « à décroissance rapide »).
• Etude complète de la fonction Gamma : notamment justification soigneuse du caractère C^k et justifications pour le tracé du graphe.
• REVOIR les techniques de calculs d’intégrales et de primitives (1ère année, planche I1).
• Bien savoir aussi dériver si x est dans les bornes des intégrales (1ère année… et pas que..)

Sur la Planche-I3-2024-2025  ci-jointe, on a traité les exercices de 2 à 9 sauf le 6.

On pourra commencer les colles, outre les questions de cours, par une  question de détermination de rayon de convergence.

Dans le cours :

• Lemme d’Abel, dém. et (prop.-)-définition du rayon de convergence.
• Test  de d’Alembert pour les séries entières : dém. avec d’Alembert  pour les séries numériques laissée en exercice en cours, mais faite sur les exemples des séries lacunaires ensuite en exercices.
• Prop. :   ont même rayon de convergence (au programme officiel pour alpha=1, démontrée, pour pas plus cher pour alpha qcq donc je pense qu’on peut s’en servir pour alpha quelconque).
• Rayon de convergence d’une somme et produit de Cauchy.
• Continuité de la fonction somme dans le disque ouvert de convergence.
• Pour ce qui la variable est réelle :
  • Théorème de continuité radiale d’Abel :  énoncé seulement, mais savoir l’appliquer  sur des exemples (série harmonique alternée…)
  • Dérivation terme à terme automatique pour les sommes de séries entières à l’INTERIEUR de l’intervalle de convergence.
  • unicité des coefficients du D.S.E., série de Taylor, rigidité des fonctions D.S.E.
• DSE des fonctions usuelles : preuve de la formule du binôme (1+x)^a pour a réel avec la méthode de l’E.D. ou avec une formule de Taylor au moins pour x>0.
• Banque CCINP cf haut de la planche. Planche-S3-2024-2025 Nous avons traités les exercices 1 à 9 et 11, 12, nous traiterons au moins jusqu’au 14.

Bon courage à tout le monde pour cette dernière semaine avant les vacances

rb

Suites d’intégrales : convergence dominée et  et série d’intégrales et intégration terme à terme.

D’abord révision du programme précédent, notamment toujours soigner les justifications d’intégrabilité ou de convergence de l’intégrale.

Beaucoup de « Questions de cours » possibles :

• Citer très précisément les deux théorèmes d’intégration d’une limite (celui avec  la CVU sur un segment vs le T.C.D. de Lebesgue) : lequel sait-on démontrer 🙂 ?
  • Donner un exemple d’une suite de fonctions (f_n) qui Converge Uniformément  sur un intervalle I (non borné) vers une fonction f et telle que l’intégrale sur I des f_n ne converge PAS vers l’intégrale sur I de f (étalement de la bosse : un dessin peut suffire, une fois transformé en fonction affine par morceau).
• Application du T.C.D. avec des « bornes variables »  exemple de la limite de
• Etude des intégrales de Wallis : détermination d’un équivalent. Toutes les étapes (relation de récurrence, invariant, encadrement) doivent être mémorisées.
  • Méthode l’I.P.P fait sortir le terme prépondérant pour un équivalent, si f(1) non nul, de :
• Le même équivalent par la méthode de changement de variable.
• Intégration terme à terme d’une CVU sur un segment :
  • • application aux séries entières,  comment obtenir le D.S.E. de ln(1+x) à partir de celui de 1/(1+x) sur ]-1,1[.
    •  application à la formule donnant les coefficients a_n et b_n d’une série trigonométrique  comme des intégrales sur sa somme (formule des coeff. de Fourier).
• Théorème d’intégration terme à terme de Lebesgue en deux théorèmes : cas positif et cas signe quelconque. Donner des énoncés précis !  Dans la pratique, si on part d’une fonction déjà intégrable qu’on développe en série, il y a beaucoup moins de vérifications à faire que si la fonction dans l’intégrale n’a pas d’autre expression que cette somme de série.
• Ce qu’on fait quand le théorème ne s’applique pas (notamment en cas de Cv par théorème des séries alternées spéciales).
• Planche I2 :  tous les exercices de la planche ont été traités sauf le 10 qui est le frère du 9. Planche-I2-2024-2025
• Banque CCINP : pour réviser les séries de fonctions, ex. 14.1,14.2,15, 16,17. (en priorité par rapport à ceux marqués sur la planche I2 sur lesquels vous pouvez aussi vous entraîner).