Auteur : romainbondil

Notion d’intégrale généralisée  convergente/divergente sur un intervalle I.

Notion d’intégrale absolument convergente et notion associée de fonction intégrable.

On commencera la colle par une étude d’intégrabilité de fonction à l’aide des théorèmes de comparaison : o, O, équivalents, majorations de l’intégrande .

Pour les étudiants : majoration toujours de la valeur absolue de l’intégrande !

Exemple d’intégrale semi-convergente : exemple sin(t)/t^a avec a dans ]0,1], expliquer la Cv et la non Cv absolue.

Pratique des IPP et changement de variables.

Théorème d’intégration des relations de comparaison, et méthode d’I.P.P. pour trouver des équivalents.

On attend un travail personnel de révision  des méthodes de CALCUL d’intégrales vues en 1ère année,  tableau de primitive à bien connaître, méthodes pour les fonctions rationnelles, ou trigonométriques … on pourra se tester aussi sur le verso de la planche I1 qui ne sera pas corrigé en classe.

Sur la banque CCINP : en plus des Ex. 25. 1), 28, 29.1 et 29.2) marqués en haut de la planche sur  les intégrales , on pourra aussi interroger sur les exercices 8,9, 10, 11 de la banque CCINP sur les suites et séries de fonctions.

Planche traitée  (ex 1 à 7 traités) : Planche-I1-2024-2025

Suites et séries de fonctions 

Convergence simple, uniforme, localement uniforme, uniforme sur tout segment, normale et théorème de régularités des limites C^0,C^1, C^p (avec valeur des dérivées..) ,  intégration sur un segment, interversion des limites (ou de la double limite), déclinés en version suites et séries.

Connaissance précise des théorèmes et application efficace des méthodes !

• On pourra demander un énoncé précis de théorème en début de colle.
• Démonstration du théorème de continuité d’une limite uniforme d’une suite de fonction continue.
• Démonstration du théorème d’intégration d’une limite uniforme  sur un segment.
• Le théorème d’interversion des limites a été admis.
• Exemple de la fonction zeta réelle : caractère C infini, ou limite à l’infini.
• Exemple de la suite de fonctions x-> n sin(x/n) méthode pour la CVU sur les segments et pourquoi on n’ a pas CVU sur R.
• Méthode d’encadrement par des intégrales pour un équivalent quand x->1 de la fonction zeta

Exercice de la Planche-S2-2024-2025 : on a traité les exercices  1 à 6 sauf le 5) c), le 8 et le 10.

Bonne semaine, désolé du retard de parution de ce programme.

 

Topologie : en plus du programme précédent :

• ouverts et fermés relatifs : définition d’un ouvert de A, d’un fermé de A, caractérisations (démo non exigibles mais énoncés à bien connaître).
• déf. de la continuité en un point et caractérisation avec les voisinages avec démonstration.
• caractérisation globale de la continuité : une seule implication est au programme officiel:  f est continue de  A  dans F alors  la préimage d’un ouvert de F est un ouvert de A (resp. d’un fermé) : démo. non exigible, par contre : savoir bien la mettre en oeuvre pour montrer que tel ensemble est ouvert ou fermé.
• Savoir justifier qu’une application donnée est continue : théorème d’opération, continuité des formes coordonnées, et donc des fonctions polynomiales ou rationnelles.
• Exercice : Justifier la continuité de l’application A -> A^{-1} de GL_n(K) dans lui-même.
• Définir ce qu’est un homéomorphisme et pourquoi l’image d’un ouvert par un homéo est un ouvert. Donner. un exemple de fonction continue bijective qui n’est pas un homéo.

Sur la Planche-T2-2024-2025   : les exercices de 1 à 12 sauf le 4, 5c) et 6 ont été traités. On a particulièrement insisté sur les exemples de topologie dans M_n(K).

Ne pas hésiter à donner des questions reliées à l’algèbre linéaire pour bien ancrer ces notions et bien sûr les exercices de la banque CCINP marqués en haut de planche T2.

PAS de Continuité des applications linéaires et de normes d’opérateurs cette semaine.

Elle est sur la page DM… il reste sûrement des coquilles ou imprécisions, merci de me les communiquer.

rb

Avec la 13 ème vidéo sur le site aujourd’hui j’ai fini cette présentation. Bon visionnage. Je mettrai aussi les pdf des photos des notes…. quand je les aurai toutes retrouvées 😦

Cinq premières vidéo d’une dizaine de minutes sont disponibles en lien sur la page compléments de cours. A suivre… N’hésiter pas à me poser des questions !

rb

Rebonjour,

J’avais fait des petites vidéo l’an dernier pour finir le cours du chapitre T1… qui commencent exactement à l’endroit où on s’est arrêté jeudi dernier. Je mets le lien Dropbox sur la page Plan de Cours et Compléments.

Chacune est très courte, je vous demande vraiment de faire l’effort de visionner ces vidéo à petite dose avec un stylo à la main pendant ces vacances. Les démonstrations et définition feront l’objet de QdC la semaine 7 ! Cela nous permettra de vite clôturer ce cours à la rentrée et d’avoir plus de temps pour les exercices. Vous avez aussi la page 5 et 6 du poly du cours au même endroit. (les vidéos correspondant  à la page 5, on fera la page 6 ensemble à la rentrée).

rb

Bonjour à tout le monde,

comme promis j’ai enrichi la page DM. D’abord une mini modif sur le DM 4 :

DM4-2024-2025 (version 20/10 : sur le conseil de J. PPW j’ai transposé la matrice A de la Q3 ii) :

et avec une remarque de Maeva j’ai changé irréductible en réductible Q11

Ce D.M. est à rendre le jour de la rentrée (tout le monde !).

Ensuite j’ai mis deux autres DM chacun pas trop long, un DM 5 pour une semaine après la rentrée mais qu’il serait mieux de travailler pendant les vacances surtout qu’il permet de réviser le DM 3 et un DM 6  pour deux semaines après la rentrée, un peu technique sur les normes N_p. Un autre post suit  à propos du cours sur les normes.

Tout sur  la réduction des endomorphismes (trigonalisation comprise, à tous les sens du terme), et révisions des programmes d’algèbre linéaire et d’algèbre générale précédents (en fait programmes 2 à 5).

Question de cours possibles  sur le troisième chapitre de réduction : 

• Trigonalisation : démonstration par récurrence du théorème qui dit qu’un endomorphisme ayant polynôme annulateur scindé est tz.
• Caractérisations des nilpotents en termes de v.p. dans C et autre (des équivalences très simples !)
• Les élèves doivent savoir conduire la trigonalisation concrète d’une matrice 2x 2, et d’une matrice 3 x 3  donnée et même la réduction sous forme de Jordan sur ces  exemples 2×2 et 3×3.
• Théorème de décomposition sur les s.e.v. caractéristiques : il donne une tz précisée : énoncé et démonstration.
• Planche-R3-2024-2025  : les seuls exercices qui n’ont pas été traités sont le 12 et le 14. 

Format de la colle : 

• Un exercice d’algèbre de la banque CCINP : 59, 60, 61 sauf 3), 62, 64, 65, 67 à 75 (sauf les deux systèmes différentiels au 74, 75), 83 à 91, 93, 94 (ne pas négliger les exercices sur l’arithmétique dans Z et sur les polynômes)

Pour les élèves : cela fait en gros  2 exercices de la banque à travailler par jour, l’un au petit déjeuner, l’autre au goûter… essayer de panacher pour par exemple faire un exercice de réduction de la banque par jour…

•  Une question de réduction qui peut encore être une QdC ci-dessus ou un exercice des planches R1, R2, R3 ou quelque chose de proche  mais aussi  bien un exercice inconnu.

Par commodité je  remets ici le lien pour les trois planches de réduction :

Planche-R3-2024-2025

Planche-R2-2024-2025

Planche-R1-2024-2025

bonnes vacances !

Elle se trouve sur la page DS… bon w.e.