Auteur : romainbondil

Bonjour, une solution est disponible sur la page DM.

Semaine 21 : lundi 17 mars

Tout le programme de MP de probabilité :  donc par rapport aux semaines précédentes, on rajoute notamment : espace L^2,  variances, covariances, fonctions génératrices, inégalités de Cauchy-Schwarz,  Markov, Tchebychev, et loi faible des grands nombres.

Toute la banque CCIN¨P de proba est exigible, tout spécialement les exercices sur les thèmes ci-dessus.

La planche P3 aura été traitée intégralement sauf peut-être le dernier exercice.

Planche-P3-2024-2025

Bonne semaine, il y a DS de proba à la fin de la semaine ….

Comme promis, téléchargeable parce qu’un peu lourd, l’arbre généalogique des familles du roman de Wharton. Vous avez une vision d’ensemble puis des focus, pour que ce soit plus lisible.

J’en profite aussi pour vous joindre un document sur l’épreuve Centrale composé par ma collègue, Mme Brebion, à partir du rapport de l’an dernier : ça vaut le coup de le lire avant les écrits…

Extraits du Rapport Centrale 2024

Probabilités : Des v.a.d., des espérances mais pas encore de variance ou de covariance, ni de fonction génératrice ou d’inégalité de Bienaymé T cette semaine.

Chapitre sur les variables aléatoires discrètes: qq QdC possibles, mais garder du temps pour la pratique concrète sur les exercices.

• Définition d’une v.a.d. : savoir vérifier les conditions de la déf. d’une v.a.d . Savoir montrer exemple que si X est une v.a.d alors pour toute fonction f, f(X) est un v.a.d.
• V.a.d. géométrique : exemple du  temps d’attente du premier succès dans une suite de tirages de Bernoulli indépendante (savoir justifier ce que temps d’attente définit bien une v.a.d.)
• Loi de Poisson : déf., Convergence en loi de v.a. suivant B(n,lambda/n) vers P(lambda)
• Indépendance des v.a.d. : déf. équivalentes (dém. non demandée mais savoir faire des énoncés précis).
• Calcul d’Espérance des v.a. binomiales (2 méthodes),  géométriques ou  de Poisson.
• Théorème de transfert dém non exigée mais énoncé précis (deux cas). Pourquoi une v.a.d. est-elle d’espérance finie ssi E(|X|) est finie ?
• Calcul de l’espérance d’une v.a.d. à valeur dans N à l’aide des P(X>k) (dém).

Banque CCINP : cette semaine ex 95, 97, 98, 100, 102, 103.

Planche P2 : Planche-P2-2024-2025, tous les exercices ont été faits sauf le 9 et 10 sur Borel Cantelli 2, et la deuxième partie des ex 6 et 7.

Bonne semaine, pleine d’espérances, il y en a bien besoin.

Le début de ce DM vous replongera dans le monde merveilleux des intégrales à paramètres avec une variante de la transformée de Laplace du sinus cardinal que nous avions traité.. donc la première partie de ce DM peut vous servir de bonnes révisions sur ce chapitre d’où le post encore pendant les vacances…

DM13-2024-2025  c’est aussi sur la page DM, j’espère sans trop de coquilles car je n’ai pas encore fait un corrigé….

Il est sur la page DM et ici : DM12-2024-2025

Sujet niveau Mines mais qui compile plein de choses classiques sur l’exponentielle matricielle donc bonne révision et surtout complément sur ce sujet chapitres  D1, D2, R3… même si des choses sont difficiles n’hésitez pas à aller voir plus loin.

Pour la question des révisions : outre les proba comme je l’ai indiqué, prenez aussi le temps d’entretenir tous les théorèmes d’analyse  (Séries et Intégrales) et les pratiques techniques (DL, majorations) : voir les révisions des vacances de Noël. Pour l’algèbre linéaire, on l’a revu plus récemment mais c’est à vous de sentir vos besoins (entre faire plus d’analyse ou plus d’algèbre)

Vous pouvez aussi revoir des DM avec les corrigés (celui du DM 11 est sur la page DM).

Profitez bien de ce temps pour vous organiser, structurer vos connaissances,  tout en vous reposant un peu bien sûr !

Semaine 19 : lundi 3 mars.  début des probabilités et révision (notamment de probabilités, notamment avec les ex de la banque ccinp).

Sur les probabilités, nous n’avons fait qu’un chapitre théorique sur univers-tribu-probabilités, avec les résultats suivants à bien connaître :

• Définir ce qu’est une tribu et exemples simples sur la Planche-P1-2024-2025
• Qu’est-ce qu’une probabilité ? Démontrer la propriété de continuité croissante.
• Démontrer la sous-additivité dénombrable des probabilités (fait en exercice).
• Donner des propriétés de l’espace probabilisé  décrivant le jeu à pile ou face infini (où  l’existence de la proba est bien sûr admise)  : quelle tribu, comment montrer que la probabilité des singletons  est nulle.
• Dans l’exemple précédent donner un exemple de système quasi-complet d’événements (qui n’est pas « complet »).
• Définir ce qu’est une famille d’événements indépendants puis montrer que la formule sur la proba de l’intersection de ces événements se généralise à une famille infinie.
• Démontrer une famille pour la probabilité de l’Union de n événements A_i indépendants en fonctions des P(A_i).
• Enoncer les formules des proba composées et proba totales.

Donc pas de cours de deuxième année sur les variables aléatoires discrètes cette semaine MAIS on profite des vacances pour revoir tout le cours de 1ère année  sur les v.a. définies sur un univers fini (loi, espérance, variance). Cela rendra bien plus facile l’acquisition du cours de 2ème année. Après cette révision de cours, on demande de travailler et on pourra être interrogé sur les exercices correspondants de la banque CCINP : 

Ex 95, 98, 101, 104, 105, 107, 109, 112.

Autre révision recommandée : chapitre sur les séries entières.

Bonnes vacances mais aussi bonnes révisions (notamment en analyse)

Le corrigé du DS est sur la page DS, avec le sujet original.

Equations différentielles linéaires.

Bien connaître l’énoncé du Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire dans le cas vectoriel et son adaptation au cas scalaire.

L’objectif principal de la semaine  est la maîtrise des techniques de calculs notamment dans le cas des systèmes linéaires matriciels.

Il serait donc souhaitable  que la colle se concentre  en premier lieu sur  une question « calculatoire » d’un des type suivant :

Résolution d’un système linéaire X'(t)=A.X(t) avec A matrice constante 2×2 ou 3×3:

• • Cas où A est diagonalisable dans R
  • Cas où A est diagonalisable dans C et qu’on veut des solutions réelles
  • Cas où A est seulement trigonalisable : on a comparé la méthode d’une simple trigonalisation ou de la réduction sous les sous-espaces caractéristiques sur des exemples. (Pour les étudiants bien revoir le chapitre R3 de réduction).
  • IL serait INADMISSIBLE de ne pas savoir trigonaliser une matrice 3×3 cette semaine !! De même le calcul des vecteurs propres doit être efficace !
• Nous avons traités tous les exercices correspondants ex 5 à 8 de la Planche-D2 en plus de nombreux exemples du cours.  S’entraîner aussi avec ex 74, 75 de la banque CCINP.

Ensuite, on peut examiner la Résolution d’équations différentielles linéaires scalaires   d’ordre deux : la principale nouveauté, outre le théorème de Cauchy Lipschitz linéaire qu’il faut encore une fois bien énoncer, est:

•  la méthode de variations des constantes à l’ordre deux. Là encore on pourra vérifier que la méthode est bien apprise sur des exemples concrets (calculs avec aussi révisions des calculs de primitives).
• Ne pas oublier aussi la recherche de solutions particulières développables en séries entières, la technique est importante est doit être bien travaillée.

Nous n’avons pas eu le temps de traiter les exercices plus qualitatifs à ce stade, en revanche ,nous avons travaillé des exercices un peu plus théoriques sur l’exponentielle matricielle  (début de planche sauf ex 4 )qui pourraient faire des questions pour les élèves plus à l’aise en deuxième partie de colle.

Semaine 17 du lundi 3 février : un programme « mélangé »

Dans l’idéal, la colle pourra comporter (peut-être avec le 2) avant le 1)

1. Une question sur le programme précédent : endomorphismes d’un espace euclidien. La planche R4-bonus-decomp-matricielles suivante aura été traitée en partie.
2. Une question sur la dénombrabilité OU la dérivation des fonctions d’une variable réelle à valeurs vectorielles, comme illustré par la planche ci-jointe :Planche-P0-D1, avec comme questions de cours possibles pour la partie Dérivation :

• Trois définitions équivalentes de la dérivabilité pour f : I -> E (dém. non demandée)
• Dérivée de L o f si f est dérivable de I dans E et L est linéaire de E dans F (dém.)
• Dérivée de B(f,g) si f (resp. g) sont dérivables de I dans E  (resp. dans F) et B : E x F-> G est bilinéaire (dém.) 
• Extension du point précédent aux applications n-linéaires (typiquement déterminant) (pas de dém. juste la formule) 
• T.A.F. généralisé à deux fonctions  » f'(c) (g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a)) » démonstration vectorielle
• Dérivation de t-> exp(tA) par théorème de dérivation terme à terme à valeurs vectorielles (dém)
• Inégalité triangulaire pour les intégrales de fonctions vectorielles et application à l’I.A.F. dans l’hypothèse C^1.
• Formules de Taylor à savoir parfaitement

Et pour la partie dénombrabilité : 

• Cours: Montrer qu’une union finie ou dnb d’ensembles finis ou dnb est finie ou dnb
• Exercice (pour les motivé.e.s)  : montrer que {0,1}^N (où N est l’ensemble des entiers naturels) n’est pas dénombrable à l’aide de la construction diagonale.
• Cours: Définir ce qu’on appelle le développement décimal (resp. dyadique) propre respectivement impropre d’un nombre réel dans [0,1[ (l’impropre n’existant que pour les nombres décimaux, resp. dyadiques).