Semaine 12 : du lundi 4 janvier
Deuxième semaine sur l’arithmétique de Z. Cette semaine, on dispose de la décomposition en facteurs premiers, et des valuations p-adiques ce qui simplifie la vision de bien des problèmes élémentaires.
Pour les élèves, bien réviser les programmes des deux semaines 11 et 12 pour une bonne mise en perspective globale.
Questions de cours possibles :
- Démontrer que si un nombre premier divise un produit, alors il divise l’un des facteurs (lemme d’Euclide).
- Démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini et savoir l’adapter à de nouvelles situations (cf . ex. 1 pl. 18).
- Savoir un codage en Python du crible d’Eratosthène (cf. corrigé du TP d’info).
- Définition et prop. de base des valuations p-adiques.
- Démontrer l’égalité pgcd(a, b).ppcm(a, b)=|ab| avec les v_p.
- Existence et unicité de l’écriture irréductible d’un nombre rationnel.
- Démontrer en une ligne que racine de 2 est irrationnel.
- (Z/nZ,+,x) est un corps ssi n est premier.
- Si k et n sont premiers entre eux alors k divise le binomial (k parmi n). Que se passe-t-il si n est premier?
- Savoir utiliser le théorème Chinois en se ramenant à un représentant commun pour les deux congruences, savoir justifier cette version réduite.
- Que dit le petit théorème de Fermat : différentes formes (sans démonstration).
Les deux planches auront été entièrement traitées d’ici la rentrée (sauf l’ex. 17 pl. 17 qui n’est pas exigible…).
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