joffremp2

Semaine 6 du lundi 6 novembre 2023 : 

Toute la réduction des endomorphismes (trigonalisation comprise, à tous les sens du terme), et révisions des séries numériques, bref, les cinq programmes précédents plus  : (QdC possibles cette semaine)

• Trigonalisation : démonstration par récurrence du théorème qui dit qu’un endomorphisme ayant polynôme annulateur scindé est tz.
• Caractérisations des nilpotents en termes de v.p. dans C et autre (des équivalences très simples !)
• Les élèves doivent savoir conduire la trigonalisation concrète d’une matrice 2x 2, et d’une matrice 3 x 3  donnée et même la réduction sous forme de Jordan sur ces  exemples 2×2 et 3×3.
• Théorème de décomposition sur les s.e.v. caractéristiques : il donne une tz précisée.

Toute la planche Planche-R3-2023 a été travaillée sauf le dernier exercice.

Format de la colle : dans l’idéal une question d’analyse et une question d’algèbre.

L’une des questions d’algèbre peut être un exercice de la banque CCINP : ex. 59, 60, 62, 64; 65, 67 à 73, 83 à 91 et enfin le  93  (surtout ne pas négliger les exercices sur l’arithmétique dans Z et sur les polynômes).

Cela fait en gros  2 exercices de la banque à travailler par jour, l’un au petit déjeuner, l’autre au goûter…

Les questions sur les séries numériques ne seront pas forcément difficiles, juste pour ancrer les méthodes sur les D.L notamment et les résultats les plus importants.

Bonjour

voici donc le cru 2024 de ladite banque, que vous retrouverez aussi sur la page « pratique Classe/ Concours ».

banque finale avec corr_2024

banque finale sans corr_2024

Je n’en ai pas encore fait l’exégèse pour voir ce qu’il y a de nouveau… je vous laisse découvrir… un message de recommandations  de révisions suit.

bon début de vacances

rb

Demain, l’interrogation 5 portera sur …
… Le changement de référentiel
… Le mouvement à force centrale
… La réaction acide-base
… La solubilité

Par la suite, nous picorerons le TD d’optique géométrique « Formation des images » , à savoir les questions 4.a, 1.e & 2.

Cette semaine, tout sur la diagonalisation, les polynômes caractéristiques, Cayley-Hamilton et bien sûr tout le programme précédents. Pas de trigonalisation encore cette semaine, merci.
Nous avons fait beaucoup d’exercices : tous ceux de la Planche-R2
ont été travaillés et corrigés en classe sauf l’ex 1 et l’ex. 14  et peuvent être reposés en colle.
Penser aussi aux exercices de la banque CCINP marqués en début de planche R2 et questions suivantes :

• Calcul du polynôme caractéristique d’une matrice compagnon
•  Justifier que la multiplicité géométrique d’une v.p. est inférieure ou égale à sa multiplicité algébrique.
• Démonstration de Cayley Hamilton dans le cas particulier d’une matrice dz.
Pour les élèves  : pour les exercices de la banque CCINP, on y rencontre le théorème qui dit qu’une matrice symétrique réelle est toujours dz dans M_n(R), que nous n’avons pas encore fait dans ce cours et qui sera traité au moment de la réduction des endomorphismes d’un e.v. euclidien.
Planche-R2-2023

Le DS d’aujourd’hui ainsi qu’une solution et le sujet original de CCINP PC 2013 sont disponibles sur la page DS.

Sur la page DM vous trouverez aussi le tout nouveau poster du DM 2.

bon w.e.

Un programme Python illustrant l’exercice 7 (stick-slip) est à disposition sur la Dropbox. Essayez-le, amusez-vous avec mais il serait préférable de commencer par en écrire un personnellement et de le comparer au mien.

Semaine 4 du lundi 9 octobre 2023 : 

Début de l’étude de la réduction des endomorphismes et de la  diagonalisation.

• Révisions sur les formules de changement de base, pour les vecteurs et les applications linéaires.
• valeurs propres, vecteurs propres : recherche à l’aide de l’équation aux valeurs propres sur des exemples en dim. finie ou infinie
• caractérisation : lambda v.p. d’une matrice A ssi det(A-lambda I)=0, application aux v.p. des matrices de petites tailles et des matrices triangulaires
• Démonstration du fait que des s.e.v. propres associés à des v.p. distinctes sont en somme directe
• Si lambda est v.p. d’un endomorphisme L et si P est un polynôme alors P(lambda) est v.p. de P(L). Conséquence si P est annulateur de L, Sp(L) est inclus dans Z(P).
• Les v.p. de L sont exactement les racines du polynôme minimal de L.
• Théorème de décomposition des noyaux : démonstration pour un produit de deux polynômes. On sera spécialement attentif à la bonne compréhension des objets manipulés (P(L)(x) et pas P(L(x)) et (PQ)(L)=P(L)o Q(L) etc…)
• Savoir donner le maximum de caractérisations d’une matrice diagonalisable et la C.S. « n v.p. distinctes en dim. n  » mais en fait retenir surtout et pour chaque exercice  qu’il y a d »un côté le point de vue géométrique (avec les vecteurs propres et les sev  propres)  et le point de vue algébrique (avec les polynômes annulateurs, le minimal).

Pour les colleurs : ON NE PARLE PAS de POLYNÔME CARACTERISTIQUE CETTE SEMAiNE ET de condition de diagonalisabilité avec celui-ci.

Exercices traités sur la planche ; 1,2,4,5,8,10,11,12,16,17. Planche-R1-2023

Gabriel a joliment dégraissé le programme présenté vendredi. Bravo et merci à lui.
Vous pouvez le retrouver sur la Dropbox pour le tester.
Quand à moi, n’ayant pas été le plus rapide, je vous offre un tout petit complément, le tracé du portrait de phase …

Semaine 3 du lundi 02/10 : révisions et compléments d’algèbre commutative.

La motivation principale  de cette semaine est d’introduire les idéaux des anneaux de polynômes pour la définition du polynôme annulateur d’une matrice ou d’un endomorphisme. Mais cela étant, c’est aussi l’occasion de voir et revoir un certain nombres de notions sur l »algèbre commutative, l’arithmétique et les polynômes.  Il est important de vérifier que les différentes structures (groupes, anneaux, corps, algèbres et donc idéaux) sont bien connues. Pas de résultat sur les groupes cette semaine, le cadre est celui de l’algèbre commutative.

Les colles commenceront si possible par une question de cours dans la liste suivante :

• Qu’est-ce qu’un anneau, qu’est-ce corps ? Montrer que Z/nZ est un corps ssi Z/nZ  est intègre ssi n est un nombre premier.
• Plus généralement : pour a dans Z, montrer que la classe de a est inversible dans l’anneau Z/nZ ssi a et n sont premiers entre eux
•  savoir définir ce qu’est  un idéal et savoir la forme des idéaux de K[X] et de Z (dém. sur K[X]).
• Définir le polynôme minimal d’un matrice (resp. d’un endomorphisme d’un e.v. de dim. finie) et savoir pourquoi tout polynôme annulateur est divisible par le polynôme minimal.
• Expliciter  le polynôme minimal d’une matrice diagonale.
• Montrer que dim K[A]=deg(mu_A).
• Montrer que si A est une matrice inversible alors A^{-1} est dans K[A].
• Montrer que si A est une matrice et P est un polynôme alors P(A) est une matrice inversible ssi P est premier avec le polynôme minimal de A.

Pour les exercices :  surtout des révisions de première année sur les vérifications élémentaires sur les structures, éventuellement les congruences dans Z,  mais surtout les polynômes et notamment polynômes complexes : les exercices 5 à 10 de la planche A2 ci-jointes ont été traités en classe, les suivant sont donnés aux élèves  en guise de révision mais ne sont pas corrigés en classe. Les exercices de la banque CCINP proposés sur la planche   couvrent une partie de ce programme de révisions.

Les exercices plus difficiles (du style des exercices 1 à 4 de la planche, même si les trois premiers ont été traités en classe)  sont à réserver aux élèves les plus à l’aise.  Planche-A2-2023

Bonne semaine !

M. Pruja est en P 15 et M. Chevalier commence à 17h au lieu de 17h15, tout cela est modifié sur la version du colloscope ci-dessous et sur la page Pratique.