Auteur : romainbondil

Nous avions laissé cet exercice en suspens… en attendant d’être plus familier ou familière avec les matrices et surtout notre nouvelle amie la base canonique des E_{i,j} dans M_n(K). Mais maintenant cela doit aller mieux non?

Ce à quoi il faut bien faire attention c’est que m_A est un endomorphisme de l’espace M_2(K) (lire cette phrase lentement , à voix haute). Autrement dit m_A est un élément de L(M_2(K)).

Son noyau est un s.e.v de M_2(K) que Samy a bien trouvé :

Mais ensuite il s’est un peu perdu sur ce qu’était l’image de m_A, et la matrice de m_A dans la base canonique de M_2(K) : déjà quelle sera la taille de cette matrice ?

On me signale une coquille à la partie V du DM 14 question 11 : la voici corrigée, j’actualise aussi le fichier sur la page DM.

Comme nous avons à peu près fini la planche 43 avec les solutions données ce matin, à l’exception de l’exercice 9, voici une compilations des solutions de ces exercices dans un fichier.

Nous reparlerons de l’exercice 9 lundi prochain de vive voix, parce qu’il est important du point de vue conceptuel sur la construction de corps. D’ailleurs j’ai très envie de vous donner un bonus pour prolonger l’exercice 9, qui devrait faire plaisir à Gabriel…. à venir dans un autre message….

Les corrigés ne sont pas tous très détaillés et je renvoie aux images scannées des rédactions de vos camarades pour les détails éventuels.

Rebonjour, je vous signale qu’Izia a complété le calcul de la méthode 2 de l’ex. 4 pl. 43.

et corrigé une coquille dans la solution tapée de l’ex. 8 pl. 43.

Tout cela a été modifié sur les articles correspondants.

Bien sûr à la fin je vous donnerai une version tapée des solutions de toute cette planche.

bonne journée ensoleillée et ventée

rb

Le dernier exercice pour aujourd’hui : comme la solution d’Arthur G pour l’ex. 5 était très courte, je lui redonne la parole pour l’ex 7.

Attention : pour les exercices suivants il faudra de nouveaux contributeurs ou nouvelles contributrices !

Normalement, en dessous il y a un lien Amazon pour acheter une ardoise velleda non? hum…

D’abord Arthur G vous montre que le calcul tient sur son ardoise velleda :

Maintenant si on veut détailler avec la définition du produit de matrices, on peut tout écrire comme Théa :

Sa rédaction commence par « Soient i et j dans [1,n] » (sur une autre feuille non scannée) ♥️

Suite de la solution de Théa, dans un style « suite implacable d’équivalences » tout à fait juste.

Peut-être que la condition de la 5-ième ligne avec un « ou » ne sera pas parlante pour tous, mais la version contraposée de la ligne d’après est plus claire.

Au total Théa a ainsi montré qu’il n’y a QUE les matrices diagonales qui commutent à D : bien sûr on savait déjà que les matrices diagonales commuteraient avec la matrice diagonale D (oui, dites moi que vous le saviez !) mais pas que ce sont les seules. Et le c) montre bien que ce résultat n’est pas général avec un exemple où il y a plus de matrices qui commutent à D que les seules matrices diagonales.

Question bonus : pour voir si vous avez lu jusqu’au bout… combien répondront (?) : pour toute matrice D, le commutant C_D est toujours un K-ev. (mieux une sous-algèbre de M_n(K). Quelle est la dimension de C_D pour la matrice D du c)?

Bonjour, voici d’abord le bon calcul de Samy pour le a) de cet exercice qui s’échauffe sur le cas n=3 comme je le conseillais (3 ou 4)

Notez bien que le « ainsi » entre le cas n=3 et le cas n qcq est abusif… Il faudrait dire plutôt que le calcul pour n quelconque se fait avec la définition du produit matriciel. C’est ce que Théa rédige dans les images en dessous de la première.

Une petite remarque sur la compréhension de ce produit en lignes ou en colonnes :

A la fin de l’article sur l’ex. 4. je parle de l’intérêt de la formule du binôme (A+B)^n pour deux matrice A et B qui COMMUTENT… (avec A=I).

Dans cet exercice, Gabin la met en action avec (I+E)^n où E est la matrice remplie de 1.

Ensuite il suffit d’avoir une formule pour les E^k pas difficile E^k= 3^{k-1} E mais 🧐 elle ne MARCHE PAS pour k=0.

C’est pour cela qu’il ne faut pas oublier de mettre ce terme à part dans la somme.

Il n’y aura pas d’autres solutions sur le site avant Lundi, mais vous pouvez continuer à m’envoyer vos solutions bien sûr !

Voici une version tapée, avec une coquille corrigée par Izia (merci Izia!)

Voici l’exercice 6 qui semble ne pas avoir posé trop de problème : attention, j’ai besoin de nouveaux candidat(e)s pour les exercices suivant lundi !

bon w.e.