Auteur : romainbondil

Topologie

• ouverts et fermés relatifs : définition d’un ouvert de A, d’un fermé de A, caractérisations (démo non exigibles).
• déf. de la continuitéen un point et caractérisation avec les voisinages avec démonstration.
• caractérisation globale de la continuité : f est continue de  A  dans F ssi la préimage d’un ouvert de F est un ouvert de A (resp. d’un fermé) : démo. non exigible, par contre : savoir bien la mettre en oeuvre pour montrer que tel ensemble est ouvert ou fermé.
• Savoir justifier qu’une application donnée est continue : théorème d’opération, continuité des formes coordonnées, et donc des fonctions polynomiales ou rationnelles.
• Savoir étudier la continuité d’une fonction en un point à problème (ex. 6,7 pl. T2).
• Exercice : Justifier la continuité de l’application A -> A^{-1} de GL_n(K) dans lui-même.
• Définir ce qu’est un homéomorphisme et pourquoi l’image d’un ouvert par un homéo est un ouvert. Donner. un exemple de fonction continue bijective qui n’est pas un homéo.
• Caractérisation de la continuité des applications linéaires : 5 conditions, avec dém.
• Définition de la norme d’opérateur (trois formules équivalentes) avec dém.
• Calcul pratique de normes d’opérateur  sur des exemples : seulement à partir de mercredi !

Sur la Planche-T2-2023  : tout le verso à été traité. En revanche les calculs de normes d’opérateurs seront pratiqués en début de semaine donc être plus aidant là-dessus. Ne pas hésiter à donner des questions reliées à l’algèbre linéaire pour bien ancrer ces notions et bien sûr les exercices de la banque CCINP marqués en haut de planche T2.

Comme promis j’ai trouvé le texte de Laurent Lafforgue (médaille Fields) auquel je pensais l’autre jour en classe… https://www.laurentlafforgue.org/textes/SEL.pdf

Je cite d’abord :

« Comme mathématicien, je suis extrêmement sensibilisé à la question du langage, je sais combien la construction d’un langage qui rend possible la pensée est difficile, combien son acquisition progressive est ardue pour les nouveaux venus et combien sa préservation est précieuse. »

Non, mettre un s à la troisième personne du singulier en français n’est pas une peccadille, c’est un acte grave, un refus du vivre ensemble que Laurent Lafforgue exprime avec force en haut de la page 4 : « dans le but de créer un monde commun emprunt de civilité, où les hommes aient la possibilité de parler les uns avec les autres, de penser finement et d’échanger leurs pensées, voire d’exprimer leurs émotions, tout en gardant une certaine distance. Je souhaite ardemment qu’un tel monde commun continue à exister, et je pense que sa condition sine qua non est l’existence d’une langue commune qui obéisse aux règles imaginées à l’époque française classique. »

Vous comprendrez donc que les fautes de conjugaisons soient pénalisantes sur vos copies de mathématiques.

Enfin je ne résiste pas à cette citation magnifique : » Enfin, les mathématiques progressent au cours des siècles principalement par la lente maturation de nouveaux concepts, c’est-à-dire de nouveaux mots qui donnent prise sur les choses. Quand une chose n’est pas nommée, elle reste insaisissable, invisible, impossible à penser. Pour commencer à l’appréhender, les mathématiciens dans leurs longues quêtes n’ont d’abord d’autre ressource que d’employer des périphrases, et il peut arriver que de telles périphrases représentent des centaines de pages de texte. Voici ce qu’il en coûte quand les mots manquent encore et que l’esprit est réduit à tenter de penser sans les mots. Au contraire, quand après de lentes décantations qui, dans l’histoire, prennent parfois des siècles, des mots apparaissent qui permettent de saisir les choses dans leur être, il arrive que certains résultats qui avaient d’abord demandé des livres entiers pour être énoncés et expliqués s’expriment enfin en quelques lignes d’une clarté aveuglante. C’est que la pensée, grâce aux mots, est devenue libre: elle était paralysée par l’impossiblité de dire et voici que, par le progrès de la langue disponible, elle se trouve enfin déliée. »

Banque CCINP : Ex. 37, 39 sauf le 2),  40, 44,45

Je me suis un peu embrouillé (je crois avec différentes versions de ladite banque), dans les listes marquées sur les planches T1 et T2. Désolé.

Semaine du lundi 13 novembre :

Début de la topologie : normes, suites d’un e.v.n. (séries en dim. finie), mais aussi ouverts, fermés, intérieur, adhérence.

On pourra commencer la colle par une question de cours dans cette liste :

• Montrer que la norme infinie sur l’espace des fonctions bornées est bien une norme (on sera très précis pour les arguments sur les sup.)
• définir ce qu’est une norme d’algèbre, en donner des exemples dans l’algèbre des fonctions bornées, et dans l’algèbre des matrices carrées.
• Théorème pour les produits de limites de suites dans une algèbre normée.
• Justifier que dans un evn de dim. finie, la convergence d’une suite se vérifie « coordonnée par coordonnée ».
• Justifier que dans un evn de dim. finie, une série absolument convergente est convergente.
• Justification de l’existence de l’exp. matricielle.
• Montrer qu’une boule ouverte est ouverte.
• Montrer que l’intérieur d’une boule fermée est la boule ouverte
• Montrer que l’adhérence d’une boule ouverte est la boule fermée
• Exercice : Montrer qu’un s.e.v. strict est d’intérieur vide.
• Caractérisation séquentielle des points adhérents.
• Lien complémentaire de l’adhérence/intérieur du complémentaire..

Sur la planche T1, on a fait tous les exercices de 1 à 9. Sur la planche T2 les ex 1, 2 et presque tout le 3.  On vérifiera surtout que les définitions sont bien sues (ouvert, fermés, intérieur, adhérence) et dans une certaine mesure déjà un peu comprises.

Planche-T2-2023

Planche-T1-2023

Exercices de la banque CCINP pour cette semaine :Ex. 37, 39 sauf le 2),  40, 44,45.

Voici un objet rencontré dans une grange dans le limousin… à quoi sert-il ? A-t-il un rapport avec le calcul intégral ? Les meilleures réponses seront publiées sur le site…. surtout si elles sont intégralement réjouissantes.

Le poster du DM3 sur la page DM.

Les vidéo sur le chapitre  T1 sur la page Plan de cours et compléments divers.

bonne journée ensoleillée.

rb

Suite à des rédactions peu efficaces voire fausses de la vérification des propriétés d’une sous-algèbre pour la première question du DM3, je viens de compléter le mémento sur les structures qui est en appendice du cours de la semaine 3. Vous le trouverez sur la page Plans de cours.

Autre chose : les vacances peuvent être l’occasion de reprendre les DM (par exemple 2 et 3) avec leurs corrigés. Pour le DM 4, il est indispensable que vous fassiez tous l’effort d’en faire une partie, disons au moins jusqu’à la Q10. 

Semaine 6 du lundi 6 novembre 2023 : 

Toute la réduction des endomorphismes (trigonalisation comprise, à tous les sens du terme), et révisions des séries numériques, bref, les cinq programmes précédents plus  : (QdC possibles cette semaine)

• Trigonalisation : démonstration par récurrence du théorème qui dit qu’un endomorphisme ayant polynôme annulateur scindé est tz.
• Caractérisations des nilpotents en termes de v.p. dans C et autre (des équivalences très simples !)
• Les élèves doivent savoir conduire la trigonalisation concrète d’une matrice 2x 2, et d’une matrice 3 x 3  donnée et même la réduction sous forme de Jordan sur ces  exemples 2×2 et 3×3.
• Théorème de décomposition sur les s.e.v. caractéristiques : il donne une tz précisée.

Toute la planche Planche-R3-2023 a été travaillée sauf le dernier exercice.

Format de la colle : dans l’idéal une question d’analyse et une question d’algèbre.

L’une des questions d’algèbre peut être un exercice de la banque CCINP : ex. 59, 60, 62, 64; 65, 67 à 73, 83 à 91 et enfin le  93  (surtout ne pas négliger les exercices sur l’arithmétique dans Z et sur les polynômes).

Cela fait en gros  2 exercices de la banque à travailler par jour, l’un au petit déjeuner, l’autre au goûter…

Les questions sur les séries numériques ne seront pas forcément difficiles, juste pour ancrer les méthodes sur les D.L notamment et les résultats les plus importants.

Bonjour

voici donc le cru 2024 de ladite banque, que vous retrouverez aussi sur la page « pratique Classe/ Concours ».

banque finale avec corr_2024

banque finale sans corr_2024

Je n’en ai pas encore fait l’exégèse pour voir ce qu’il y a de nouveau… je vous laisse découvrir… un message de recommandations  de révisions suit.

bon début de vacances

rb

Cette semaine, tout sur la diagonalisation, les polynômes caractéristiques, Cayley-Hamilton et bien sûr tout le programme précédents. Pas de trigonalisation encore cette semaine, merci.
Nous avons fait beaucoup d’exercices : tous ceux de la Planche-R2
ont été travaillés et corrigés en classe sauf l’ex 1 et l’ex. 14  et peuvent être reposés en colle.
Penser aussi aux exercices de la banque CCINP marqués en début de planche R2 et questions suivantes :

• Calcul du polynôme caractéristique d’une matrice compagnon
•  Justifier que la multiplicité géométrique d’une v.p. est inférieure ou égale à sa multiplicité algébrique.
• Démonstration de Cayley Hamilton dans le cas particulier d’une matrice dz.
Pour les élèves  : pour les exercices de la banque CCINP, on y rencontre le théorème qui dit qu’une matrice symétrique réelle est toujours dz dans M_n(R), que nous n’avons pas encore fait dans ce cours et qui sera traité au moment de la réduction des endomorphismes d’un e.v. euclidien.
Planche-R2-2023