Auteur : romainbondil

Le DS d’aujourd’hui ainsi qu’une solution et le sujet original de CCINP PC 2013 sont disponibles sur la page DS.

Sur la page DM vous trouverez aussi le tout nouveau poster du DM 2.

bon w.e.

Semaine 4 du lundi 9 octobre 2023 : 

Début de l’étude de la réduction des endomorphismes et de la  diagonalisation.

• Révisions sur les formules de changement de base, pour les vecteurs et les applications linéaires.
• valeurs propres, vecteurs propres : recherche à l’aide de l’équation aux valeurs propres sur des exemples en dim. finie ou infinie
• caractérisation : lambda v.p. d’une matrice A ssi det(A-lambda I)=0, application aux v.p. des matrices de petites tailles et des matrices triangulaires
• Démonstration du fait que des s.e.v. propres associés à des v.p. distinctes sont en somme directe
• Si lambda est v.p. d’un endomorphisme L et si P est un polynôme alors P(lambda) est v.p. de P(L). Conséquence si P est annulateur de L, Sp(L) est inclus dans Z(P).
• Les v.p. de L sont exactement les racines du polynôme minimal de L.
• Théorème de décomposition des noyaux : démonstration pour un produit de deux polynômes. On sera spécialement attentif à la bonne compréhension des objets manipulés (P(L)(x) et pas P(L(x)) et (PQ)(L)=P(L)o Q(L) etc…)
• Savoir donner le maximum de caractérisations d’une matrice diagonalisable et la C.S. « n v.p. distinctes en dim. n  » mais en fait retenir surtout et pour chaque exercice  qu’il y a d »un côté le point de vue géométrique (avec les vecteurs propres et les sev  propres)  et le point de vue algébrique (avec les polynômes annulateurs, le minimal).

Pour les colleurs : ON NE PARLE PAS de POLYNÔME CARACTERISTIQUE CETTE SEMAiNE ET de condition de diagonalisabilité avec celui-ci.

Exercices traités sur la planche ; 1,2,4,5,8,10,11,12,16,17. Planche-R1-2023

Semaine 3 du lundi 02/10 : révisions et compléments d’algèbre commutative.

La motivation principale  de cette semaine est d’introduire les idéaux des anneaux de polynômes pour la définition du polynôme annulateur d’une matrice ou d’un endomorphisme. Mais cela étant, c’est aussi l’occasion de voir et revoir un certain nombres de notions sur l »algèbre commutative, l’arithmétique et les polynômes.  Il est important de vérifier que les différentes structures (groupes, anneaux, corps, algèbres et donc idéaux) sont bien connues. Pas de résultat sur les groupes cette semaine, le cadre est celui de l’algèbre commutative.

Les colles commenceront si possible par une question de cours dans la liste suivante :

• Qu’est-ce qu’un anneau, qu’est-ce corps ? Montrer que Z/nZ est un corps ssi Z/nZ  est intègre ssi n est un nombre premier.
• Plus généralement : pour a dans Z, montrer que la classe de a est inversible dans l’anneau Z/nZ ssi a et n sont premiers entre eux
•  savoir définir ce qu’est  un idéal et savoir la forme des idéaux de K[X] et de Z (dém. sur K[X]).
• Définir le polynôme minimal d’un matrice (resp. d’un endomorphisme d’un e.v. de dim. finie) et savoir pourquoi tout polynôme annulateur est divisible par le polynôme minimal.
• Expliciter  le polynôme minimal d’une matrice diagonale.
• Montrer que dim K[A]=deg(mu_A).
• Montrer que si A est une matrice inversible alors A^{-1} est dans K[A].
• Montrer que si A est une matrice et P est un polynôme alors P(A) est une matrice inversible ssi P est premier avec le polynôme minimal de A.

Pour les exercices :  surtout des révisions de première année sur les vérifications élémentaires sur les structures, éventuellement les congruences dans Z,  mais surtout les polynômes et notamment polynômes complexes : les exercices 5 à 10 de la planche A2 ci-jointes ont été traités en classe, les suivant sont donnés aux élèves  en guise de révision mais ne sont pas corrigés en classe. Les exercices de la banque CCINP proposés sur la planche   couvrent une partie de ce programme de révisions.

Les exercices plus difficiles (du style des exercices 1 à 4 de la planche, même si les trois premiers ont été traités en classe)  sont à réserver aux élèves les plus à l’aise.  Planche-A2-2023

Bonne semaine !

M. Pruja est en P 15 et M. Chevalier commence à 17h au lieu de 17h15, tout cela est modifié sur la version du colloscope ci-dessous et sur la page Pratique.

Rebonjour, un corrigé est disponible sur page DS, bon w.e.

rb

Semaine 2 du lundi 25 /09 :  révisions (et quelques compléments) d’algèbre linéaire.

Peu de « nouveautés » en  cours cette semaine seulement : 

• Somme directe de plusieurs s.e.v.: définitions, différentes caractérisations
• Matrices par blocs : produits, opérations élémentaires sur les blocs, formule du déterminant d’une matrice triangulaire par bloc (deux démonstrations).

L’essentiel de la semaine a été consacrée à des exercices de révisions  : on aura traité presque tous (!) les exercices de la  Planche-A1-2023 ci-jointe (sauf le 9, 18, 22, 23,27) qui donne un éventail des problématiques abordées On insistera spécialement sur la bonne maîtrise du cours et des techniques sur les déterminants qui sont souvent traités bien vite en 1ère année faute du temps nécessaire, mais bien sûr tout le programme de 1ère année est intéressant pour cette semaine.

Monsieur Piquet est remplacé par  Mme Cannon sur ce créneau de colle et donc la salle change. Il s’agit de la C 111. Voici le colloscope modifié, aussi disponible sur la page « Pratique Classe/Concours »

Un ami m’a fait connaître ces deux liens que je trouve plutôt pertinents sur la façon  de travailler…

Une vidéo sur Science étonnante

Un blog  plus spécifiquement matheux

Le premier ou la première qui me dit « j’ai relu mon cours » aura affaire à moi : on ne lit pas un cours, on le dit, on le questionne, on le crie, on le vit et c’est cela travailler.

Bonne journée

rb

Pour toute l’année : Les colles commenceront par une question de cours ou la reprise d’un exercice de la planche (ou pour les exercices de calculs des variantes) ou encore un exercice de la banque CCINP indiqué en haut de la planche de la semaine.

Ensuite, bien sûr, on posera des exercices inconnus.

Semaine 1 : Séries numériques.

On testera   systématiquement que les élèves sont bien à l’aise avec les manipulations d’équivalents et développement limités (ou asymptotiques)   aussi bien pour les séries à termes positifs que  pour les séries de signe variable.

• Définition de la divergence grossière, et savoir démontrer que si la série de terme général (u_n) converge alors (u_n) tend vers zéro.
• Test de d’Alembert avec démonstration.
• Sur la comparaison série/intégrale, pour les colleurs le programme officiel a un peu changé il s’agit maintenant plus d’un savoir faire que d’un résultat en soi, savoir justifier le D.A. de H_n à la précision o(1).
• Citer précisément le théorème de sommation des relations de comparaison et démontrer un cas.
• Citer le Théorème spécial pour certaines séries alternées avec comme conclusion aussi le signe du reste et la majoration du reste.
• Savoir mettre en oeuvre le lien suites/séries  pour gagner un terme  supplémentaire dans le D.A. de H_n. (précision o(1/n)) ou donner l’idée  de la preuve de la formule de Stirling et en faire une ou deux étapes.
• Révisions sur les suites récurrentes u_{n+1}=f(u_n) ou les suites définies implicitement.
• Familles sommables : savoir bien distinguer entre le cas positifs et le cas à signe variable/complexe. Savoir bien mettre en oeuvre le théorème de sommation terme par paquets  sans justification particulière que la positivité dans le cas positif, et au contraire avec justification préalable de la sommabilité dans le cas général.. justement avec le T.S.P. positif.

Planche d’exercice : Planche-S1-2023 Les exercices traités en classe sont les suivants  :

• ex 1 à 10 sauf le 7,
• ex 13 à 20 sauf le 18,
• ex 24.

Bonne semaine de reprise des colles à tout le monde !