Auteur : romainbondil

Cette semaine, tout sur la diagonalisation, les polynômes caractéristiques, Cayley-Hamilton et bien sûr tout le programme précédents. Pas de trigonalisation encore cette semaine, merci.
Nous avons fait beaucoup d’exercices : tous ceux de la Planche-R2
ont été travaillés et corrigés en classe sauf l’ex 1 et l’ex. 14  et peuvent être reposés en colle.
Penser aussi aux exercices de la banque CCINP marqués en début de planche R2 et questions suivantes :

• Calcul du polynôme caractéristique d’une matrice compagnon
•  Justifier que la multiplicité géométrique d’une v.p. est inférieure ou égale à sa multiplicité algébrique.
• Démonstration de Cayley Hamilton dans le cas particulier d’une matrice dz.
Pour les élèves  : pour les exercices de la banque CCINP, on y rencontre le théorème qui dit qu’une matrice symétrique réelle est toujours dz dans M_n(R), que nous n’avons pas encore fait dans ce cours et qui sera traité au moment de la réduction des endomorphismes d’un e.v. euclidien.
Planche-R2-2023

Le DS d’aujourd’hui ainsi qu’une solution et le sujet original de CCINP PC 2013 sont disponibles sur la page DS.

Sur la page DM vous trouverez aussi le tout nouveau poster du DM 2.

bon w.e.

Semaine 4 du lundi 9 octobre 2023 : 

Début de l’étude de la réduction des endomorphismes et de la  diagonalisation.

• Révisions sur les formules de changement de base, pour les vecteurs et les applications linéaires.
• valeurs propres, vecteurs propres : recherche à l’aide de l’équation aux valeurs propres sur des exemples en dim. finie ou infinie
• caractérisation : lambda v.p. d’une matrice A ssi det(A-lambda I)=0, application aux v.p. des matrices de petites tailles et des matrices triangulaires
• Démonstration du fait que des s.e.v. propres associés à des v.p. distinctes sont en somme directe
• Si lambda est v.p. d’un endomorphisme L et si P est un polynôme alors P(lambda) est v.p. de P(L). Conséquence si P est annulateur de L, Sp(L) est inclus dans Z(P).
• Les v.p. de L sont exactement les racines du polynôme minimal de L.
• Théorème de décomposition des noyaux : démonstration pour un produit de deux polynômes. On sera spécialement attentif à la bonne compréhension des objets manipulés (P(L)(x) et pas P(L(x)) et (PQ)(L)=P(L)o Q(L) etc…)
• Savoir donner le maximum de caractérisations d’une matrice diagonalisable et la C.S. « n v.p. distinctes en dim. n  » mais en fait retenir surtout et pour chaque exercice  qu’il y a d »un côté le point de vue géométrique (avec les vecteurs propres et les sev  propres)  et le point de vue algébrique (avec les polynômes annulateurs, le minimal).

Pour les colleurs : ON NE PARLE PAS de POLYNÔME CARACTERISTIQUE CETTE SEMAiNE ET de condition de diagonalisabilité avec celui-ci.

Exercices traités sur la planche ; 1,2,4,5,8,10,11,12,16,17. Planche-R1-2023

Semaine 3 du lundi 02/10 : révisions et compléments d’algèbre commutative.

La motivation principale  de cette semaine est d’introduire les idéaux des anneaux de polynômes pour la définition du polynôme annulateur d’une matrice ou d’un endomorphisme. Mais cela étant, c’est aussi l’occasion de voir et revoir un certain nombres de notions sur l »algèbre commutative, l’arithmétique et les polynômes.  Il est important de vérifier que les différentes structures (groupes, anneaux, corps, algèbres et donc idéaux) sont bien connues. Pas de résultat sur les groupes cette semaine, le cadre est celui de l’algèbre commutative.

Les colles commenceront si possible par une question de cours dans la liste suivante :

• Qu’est-ce qu’un anneau, qu’est-ce corps ? Montrer que Z/nZ est un corps ssi Z/nZ  est intègre ssi n est un nombre premier.
• Plus généralement : pour a dans Z, montrer que la classe de a est inversible dans l’anneau Z/nZ ssi a et n sont premiers entre eux
•  savoir définir ce qu’est  un idéal et savoir la forme des idéaux de K[X] et de Z (dém. sur K[X]).
• Définir le polynôme minimal d’un matrice (resp. d’un endomorphisme d’un e.v. de dim. finie) et savoir pourquoi tout polynôme annulateur est divisible par le polynôme minimal.
• Expliciter  le polynôme minimal d’une matrice diagonale.
• Montrer que dim K[A]=deg(mu_A).
• Montrer que si A est une matrice inversible alors A^{-1} est dans K[A].
• Montrer que si A est une matrice et P est un polynôme alors P(A) est une matrice inversible ssi P est premier avec le polynôme minimal de A.

Pour les exercices :  surtout des révisions de première année sur les vérifications élémentaires sur les structures, éventuellement les congruences dans Z,  mais surtout les polynômes et notamment polynômes complexes : les exercices 5 à 10 de la planche A2 ci-jointes ont été traités en classe, les suivant sont donnés aux élèves  en guise de révision mais ne sont pas corrigés en classe. Les exercices de la banque CCINP proposés sur la planche   couvrent une partie de ce programme de révisions.

Les exercices plus difficiles (du style des exercices 1 à 4 de la planche, même si les trois premiers ont été traités en classe)  sont à réserver aux élèves les plus à l’aise.  Planche-A2-2023

Bonne semaine !

M. Pruja est en P 15 et M. Chevalier commence à 17h au lieu de 17h15, tout cela est modifié sur la version du colloscope ci-dessous et sur la page Pratique.

Rebonjour, un corrigé est disponible sur page DS, bon w.e.

rb

Semaine 2 du lundi 25 /09 :  révisions (et quelques compléments) d’algèbre linéaire.

Peu de « nouveautés » en  cours cette semaine seulement : 

• Somme directe de plusieurs s.e.v.: définitions, différentes caractérisations
• Matrices par blocs : produits, opérations élémentaires sur les blocs, formule du déterminant d’une matrice triangulaire par bloc (deux démonstrations).

L’essentiel de la semaine a été consacrée à des exercices de révisions  : on aura traité presque tous (!) les exercices de la  Planche-A1-2023 ci-jointe (sauf le 9, 18, 22, 23,27) qui donne un éventail des problématiques abordées On insistera spécialement sur la bonne maîtrise du cours et des techniques sur les déterminants qui sont souvent traités bien vite en 1ère année faute du temps nécessaire, mais bien sûr tout le programme de 1ère année est intéressant pour cette semaine.

Monsieur Piquet est remplacé par  Mme Cannon sur ce créneau de colle et donc la salle change. Il s’agit de la C 111. Voici le colloscope modifié, aussi disponible sur la page « Pratique Classe/Concours »

Un ami m’a fait connaître ces deux liens que je trouve plutôt pertinents sur la façon  de travailler…

Une vidéo sur Science étonnante

Un blog  plus spécifiquement matheux

Le premier ou la première qui me dit « j’ai relu mon cours » aura affaire à moi : on ne lit pas un cours, on le dit, on le questionne, on le crie, on le vit et c’est cela travailler.

Bonne journée

rb