joffremp2

Dans l’indication de la question 9 d) du DM 6, s et t ont joué à s’échanger :  la voici corrigée (à la fin c’est x/t et y/s et pas x/s et y/t comme écrit initialement). Pour les 5/2 la méthode pour cette question est la même que dans l’exercice fait l’an dernier où l’on montre qu’une application vérifiant les deux premiers axiomes des normes et pour laquelle les boules sont convexes vérifie aussi l’I.T. et donc est une vraie norme.

Une bonne solution pour cet exercice très bien pour découvrir ces calculs de normes d’opérateurs ! Notez que l’ex 12 b) n’a pas été résolu : c’est purement une question d’algèbre… avec l’exercice 12 en bonus vous avez encore une démonstration de Cayley-Hamilton (avec 3 vous pouvez commencer une collection…)

Je m’étais trompé sur un numéro d’exercice, merci Arthur ;

Banque CCINP : Ex 35, 36, et une des trois questions de l’ex. 38.

Toutes mes excuses.

Bonjour une bonne solution de cette question par Alexandre :

Semaine 8 : du lundi 14 novembre :

Topologie : en plus du programme précédent :

• ouverts et fermés relatifs : définition d’un ouvert de A, d’un fermé de A, caractérisations (démo non exigibles).
• déf. de la continuité en un point et caractérisation avec les voisinages avec démonstration.
• caractérisation globale de la continuité : f est continue de  A  dans F ssi la préimage d’un ouvert de F est un ouvert de A (resp. d’un fermé) : démo. non exigible, par contre : savoir bien la mettre en oeuvre pour montrer que tel ensemble est ouvert ou fermé.
• Savoir justifier qu’une application donnée est continue : théorèmes d’opérations, continuité des formes coordonnées, et donc des fonctions polynomiales ou rationnelles.
• Une fonction à valeur dans K^n est continue ssi ses composantes le sont (dém).
• Justifier la continuité de l’application A -> A¨^{-1} sur GL¨_n(K).
• Définir ce qu’est un homéomorphisme et pourquoi l’image d’un ouvert par un homéo est un ouvert.
• Montrer que x-> d(x,A) est 1 -lipschitzienne.
• Caractérisation de la continuité des applications linéaires : 5 conditions, avec dém.
• Définition de la norme d’opérateur (trois formules équivalentes).
• Si l’espace de départ est de dim. finie toute application linéaire est continue (dém).
• Calcul pratique de cette norme sur des exemples (cf. ex CCINP 38).

La planche T2 a gagné un verso : Planche-T2  On pourra poser comme exercice « connu » un exercice de topologie matricielle ex. 7 à 10 ou l’ex. 16. Les autres seront corrigés en début de semaine.

Banque CCINP : Ex 35, 36, et une des trois questions de l’ex. 38.

Pour les quelques personnes qui n’ont pas eu la version papier lundi dernier … je rappelle qu’il est ici et sur la page DM

DM6-2022-2023

La solution est ici et  sur la page informatique 2ème année.

DS1-ITC-2022-2023

DS1-ITC_2022-2023-sol

suite à la remarque d’Eloïse de ce matin que je vous ai expliquée en cours mise à jour de la solution de l’ex 2 pl T2 et une correction d’un « y-x » en ‘x-y’ dans le début de la solution de l’ex 6 merci Elias.

Les solutions sont toujours ici.

J’ai mis par erreur que nous n’avions pas fait le 7 pl T1 sur l’ancienne version du programme de colle mais c’est le 8 pl T1 que nous n’avions pas fait. Merci Laetitia !

Pour répondre à Laetitia sur cet exercice, pas facile, une indication :

Pour comparer les normes l’idée essentielle est d’écrire f(x) comme l’intégrale de f’ de 0 à x à l’addition près de f(0).

Voyons le ‘sens le plus facile’ en détail, et la mise en route de l’autre sens :

Je remets ce post en tête pour la rentrée !

Semaine 7 : du lundi 7 novembre :

Début de la topologie : normes, suites d’un e.v.n. (séries en dim. finie), mais aussi ouverts, fermés, intérieur, adhérence.

On pourra commencer la colle par une question de cours dans cette liste :

• Montrer que la norme infinie sur l’espace des fonctions bornées est bien une norme (on sera très précis pour les arguments sur les sup.)
• définir ce qu’est une norme d’algèbre, en donner des exemples dans l’algèbre des fonctions bornées, et dans l’algèbre des matrices carrées.
• Théorème pour les produits de limites de suites dans une algèbre normée.
• Justifier que dans un evn de dim. finie, la convergence d’une suite se vérifie « coordonnée par coordonnée ».
• Justifier que dans un evn de dim. finie, une série absolument convergente est convergente.
• Justification de l’existence de l’exp. matricielle.
• Montrer qu’une boule ouverte est ouverte, une boule fermée est fermée.
• Montrer que l’intérieur d’une boule fermée est la boule ouverte
• Montrer que l’adhérence d’une boule ouverte est la boule fermée
• Montrer qu’un s.e.v. strict est d’intérieur vide.
• Caractérisation séquentielle des points adhérents.
• Lien complémentaire de l’adhérence/intérieur du complémentaire..

Voilà ça fait pas mal de cours pour ces vacances !!

Pour les planches : Planche-T1 tout a été fait sauf les ex. 8 et 10.

Planche-T2 : tout a été fait à distance pour les ex. 1 à 7 a), avec corrigé pendant les vacances. Lien pour les corrigés..