Auteur : romainbondil

L

Attention :

La solution donnée cite le cas x=y comme une C.S. d’égalité, alors que l’étude faite donne en fait que c’est une CNS (à condition de parler de stricte monotonie à côté du tableau de variation) , mais bien le dire !

 

Une solution qui nous vient de Bourgogne quand même… Et

Bonsoir,

voici une solution très rapide de l’ex. 9 (sans la CNS d’égalité)  avec la convexité  de x->1/sqrt(x).

Pour avoir la CNS d’égalité dans cette méthode, on n’aurait besoin de la notion de fonction strictement convexe

 

Bonjour à tous

voici une solution de l’ex 8 avec l’étude de la fonction différence.

 

Et la M2 où j’ai rajouté quelques précisions pour indiquer quand même qui sont les  x pour lesquels ce qu’on écrit est vrai

ce qui est indispensable, et est encore très loin d’être un réflexe pour vous !

 

 

Une autre façon d’étudier la fonction différence; en chassant d’abord le dénominateur.

Noter qu’ici on n’a pas oublié les pour tout x, ce qui est bien. !

 

Un défaut commun aux deux rédactions à la fin vous n’affirmez pas la conclusion, mais que la conclusion est équivalente à quelque chose… bref vous affirmez la vérité de l’équivalence et pas des prop. qui vous intéresse vraiment.

Dire (par exemple dans la rédaction ci-dessous). Donc on a montré que pour tout x dans [0,1[ , f(x) <1

Or cette condition f(x)<1 équivaut à la conclusion (là vous pouvez mettre des équivalents).

 

Bonjour,

aujourd’hui une solution tapée par l’une d’entre vous pour les deux exercices.

Pour le test de calcul de pi avec  des sommes de Riemann, je vous laisse expérimenter l’évolution de la précision en fonction de n.

(En plus de 10 et 10000000, essayez 100, 1000, 10000 et dites ce que cela vous suggère).

pl10ex6_et_python

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bonne fin d’après midi

rb

Remarque : je suis aussi preneur d’un contre-exemple pour la composée de deux fonctions convexes qui ne soit pas convexe (ou la même chose avec concave).

 

 

 

Bonjour à tous

puisque nous sommes dans l’ambiance des inégalités, voici une (même deux) solutions de l’exercice difficile posé à la fin du DS 1 (juste pour faire réfléchir ceux qui auraient eu le temps), résolu à la maison par Laureline.

Sol-Ex5-DS1

Le fichier de solutions du DS 1 est aussi actualisé avec cette sol. en plus.

bon début de journée

rb

 

Pour justifier car ln o ln est concave on pourrait être tenté de penser que la composée de deux fonctions concave est concave… or cela est faux avec cette seule hyp. de concavité (vous pourrez chercher un contre exemple).

(Bien sûr ici  on peut justifier la concavité par un calcul direct…. )

En revanche vous pourrez montrer que si f est concave et g est concave ET ??? alors g o f est concave.

(On pourra aussi faire la même chose en remplaçant concave par convexe).

Comme toutes les questions sur la convexité/concavité vous pouvez au choix l’étudier dans le cas D^2 (avec à ce moment là la caractérisation avec le signe de la dérivée seconde) ou bien le faire dans le cas le plus général  avec seulement l’inégalité de la déf. f((1-t)x+ty) etc…

 

bonne soirée à tous et bravo pour tous vos envois jusqu’ici.

 

Une rédaction de l’ex. 5. avec la convexité.

 

En précisant (plutôt que cf. cours) que :

Ceci s’applique aussi au cas où n est remplacé par un réel alpha au moins égal à 1.

Rebonjour

une bonne étude de la fonction différence pour l’exercice 5 (méthode  ex4 (ii)).  Notons que cette méthode (et donc le résultat) s’applique(nt) verbatim en  remplaçant l’entier n par un réel alpha au moins égal à 1.

Peut-être certain(e)s auraient-ils une méthode algébrique (style ex4 (i))  ,qui elle ne se généralisait pas forcément aux exposants non entiers ?

Plusieurs messages avec la convexité aussi, qui est LA bonne méthode, celle qui l’inéquation inoubliable, mais les rédactions étaient toutes perfectibles jusqu’à présent…

bonne suite de journée

rb

Rebonjour,

déjà trois solutions dès ce matin pour les trois démonstrations de l’I.A.G.

Voici une de ces trois bonnes rédactions.

Ce qui est important, c’est qu’essentiellement toutes les inégalités que vous allez démontrer sur cette planche et ailleurs vont se faire d’une des trois façons qui sont mentionnées ici : calcul « algébrique » (assez rare, pour des fonctions algébriquement très simples) dérivée par rapport à une variable (méthode déjà connue au lycée, la plus universelle) et concavité/convexité (plus nouvelle, parfois plus rapide que la précédente, mais surtout plus inspirante car elle peut faire comprendre pourquoi une égalité est vraie ou mieux encore SUGGERER telle ou telle inégalité dont on peut avoir besoin).