Réduction des endomorphismes (fin)
Cette semaine, en plus, on trigonalise, y compris avec la trigonalisation précisée donnée par la décomposition sur les sous-espaces caractéristiques. Bien sûr, on continue aussi à diagonaliser quand c’est possible, ou à faire d’autres réductions…
Questions de cours :
- Un endomorphisme est trigonalisable ssi il est annulé par un polynôme scindé (dém par réc. sur la dimension, en trouvant un hyperplan stable)
- Formule sur les Tr(A^k) en fonction des valeurs propres.
- Méthodes de trigonalisations concrètes pour les matrices 3×3 (en cours et pour aller plus loin ex2 planche)
- Pourquoi les endomorphismes nilpotents sont toujours trigonalisables, sur tous les corps.
- Définition des sous-espaces caractéristiques et théorème de décomposition sur les sous-espaces caractéristiques.
- Application (ex 15) au problème de la recherche d’une racine carrée dans M_n(C) pour une matrice inversible.
Sur la planche, on a traités tous les exercices sauf les numéros : 9,10,12, 14.
