Cette semaine, déterminants.
On commencera la colle par un calcul en 3×3 ou en 4×4 (non polluant) donnant une forme factorisée.
Questions de cours possibles :
- obtenir sur des exemples la décomposition d’une permutation en composée de cycles à supports disjoints.
- définir la signature d’une permutation : qu’y a-t-il à prouver pour la définition « intuitive »? comment peut-on le prouver (en changeant de définition avant de retrouver la déf. intutive).
- démontrer l’écriture de toute forme n-linéaire alternée dans une base d’un e.v. de dim. n (la formule combinatoire)
- Donner la définition du déterminant det_B de n vecteurs dans une base B.
- Donner la formule de changement de base pour le déterminant.
- Donner la définition du déterminant d’une matrice : le déterminant est-il une forme linéaire de M_n(K) dans K ?
- Donner sans démonstration la formule de développement d’un déterminant par rapport à une ligne ou une colonne (attention aux variables muettes/parlantes).
- Donner la définition du déterminant d’un endomorphisme (dire ce qu’il faut prouver, et une idée pour le prouver).
- Démontrer que det(AxB)=det(A)xdet(B).
- Obtenir la formule de récurrence du développement d’un déterminant tridiagonal.
- Savoir et obtenir la formule du déterminant de Vandermonde.
- Définition de la comatrice et formule de la comatrice sans démonstration.
- Exercice fait en cours sur le rang de la comatrice.
Les planches : les exercices plus difficiles (style 9,10,11 pl. 52) sur le groupe symétrique sont réservées aux plus avancé(e)s.
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