Encore un programme « double ». On pourra choisir entre une des deux parties pour la question de cours.
Cependant, il faudrait qu’il y ait au moins une question sur les espaces euclidiens/préhilberten dans la colle.
PARTIE I : Fin du cours sur les applications linéaires :
notion de matrices semblables, exemple de changement de bases pour les endomorphismes et Trace.
Questions de cours possible :
- Définir la trace d’un endomorphisme
- Savoir montrer qu’une matrice A est semblable à une matrice diagonale donnée.
- Savoir chercher tout seul la matrice diagonale en question en cherchant les lambda tels que rg(A-lambda I) <n.
Des applications « concrètes » de cette réduction ont été vues en DM, entièrement corrigé. Sur la pl. 47, on se référera plutôt aux ex. 2 et 3 avec les exemples et contre-exemples « concrets » qu’aux exercices plus abstraits de la fin de la planche réservés aux plus à l’aise.
PARTIE II : Cours sur les espaces préhilbertiens/euclidiens.
Questions de cours possibles :
- Démontrer que (x,y)-> 2x_1y_1+3(x_1y_2+x_2y_1)+7x_2y_2 est un produit scalaire sur R^2.
- Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz avec sa C.N.S. d’égalité.
- Démontrer l’inégalité triangulaire pour les normes euclidiennes, en admettant l’I.C.S, avec sa CNS d’égalité.
- Donner une ou deux écritures du produit scalaire en fonction de la norme (formules de polarisation).
- Mettre en oeuvre l’orthogonalisation de Gram-Schmidt sur un exemple.
- Montrer que si F est un s.e.v. d’un espace euclidien alors l’orhogonal de F et F sont supplémentaires.
- Théorème de la projection orthogonale : ||v-p_F(v)|| réalise le min des ||v-w|| pour w dans F.
- Calculer une matrice de projection orthogonale sur un plan de R^3 donné par son équation cartésienne.
- Enoncer et démontrer le lemme de Riesz.
La planche 48 a été pour l’essentiel faite en classe. La planche 49 sera corrigée en début de semaine.
Bon long week end à tous
rb
Notes de cours et exercices :
joffremp2 