Cette semaine, algèbre linéaire, questions de cours possibles :
Suggestion : les questions de cours peuvent être posées de manière décalée aux différentes élèves de la colle pour qu’ils puissent répondre directement à l’oral , et si possible caméra ouverte (merci de jouer le jeu les élèves) pendant que les autres membres du trinôme cherchent un exercice.
- Une application linéaire est injective ssi son noyau est réduit à 0.
- Pour une application linéaire injective, l’image d’une famille libre est libre.
- Définition des homothéties, et « miracle des homothéties » : si f linéaire envoie tout vecteur sur un vecteur proportionnel alors f est une homothétie, pourquoi est-ce un miracle et version contraposée.
- Déf des projecteurs, caractérisation, parmi les A.L de E dans E, par pop=p
- Déf des symétries, caractérisations parmi les A.L. de E dans E, par so s=id
- Bonus (*) comment déduire le théorème de décomposition paire/impaire pour les fonctions du théorème sur les symétries.
- Notion de préimage d’un sous-ensemble par une application qcq, propriétés pour inter, union etc.
- (Voir ex planche sur cette notion de préimage) et dans le cas linéaire f^{-1}(f(E_1))=E_1+Ker f.
- Déf. de la matrice d’une A.L. entre deux e.v. de dim. finie
- Comment calculer f(u) à partir de la matrice A de f et de la colonne X codant u : expliquer.
- Théorème (ou formule) du rang.
- Donner un exemple d’endomorphisme tel que Ker f + Im f n’est pas égal à E.
- Donner un exemple d’endomorphisme tel que Ker f+ Im f=E et qui n’est pas un projecteur.
- Conséquence du théorème du rang pour les A.L. entre deux e.v. de même dim. finie.
Parmi les exercices, ensuite, on privilégiera d’abord la bonne compréhension concrète de l’écriture matricielle d’une application linéaire en dim. finie : détermination de noyau, image, vecteurs fixes etc…
On a défini le produit d’une matrice rectangulaire par une colonne, mais PAS le produit de matrices en général.
On gardera les exercices plus abstraits sur le théorème du rang pour la semaine de la rentrée quand les élèves auront plus de recul, ou alors en fin de colle pour les plus rapides.
La pl. 39 a été travaillée en classe sauf les ex. 5 et 9. La pl. 40 sera corrigée en début de semaine.
N.B. Revoir aussi la pl. 6 Ex 1,2,3, et 9.
Bon courage à tous pour le confinement.
joffremp2 