Semaine 14 : du lundi 18 janvier au vendredi 22 Polynômes à coefficients complexes.
N.B. pour les colleurs : le notion de polynôme formel n’a pas été introduite à ce stade, on ne parle que de fonctions polynomiales, à coefficients réels ou complexes, la variable pouvant elle aussi être réelle ou complexe.
Peu de questions de cours, mais beaucoup d’exercices possibles. Parmi les QdC possibles néanmoins :
- Démontrer qu’un nombre complexe non nul admet exactement n racines n-ièmes.
- Justifier que ces racines n-ièmes d’un nombre complexe quelconque forment un polygone régulier.
- Justifier qu’un polynôme complexe de degré n admet au plus n racines.
- Justifier en admettant le théorème de d’alembert-Gauss qu’un polynôme à coefficients complexes admet toujours une écriture scindée dans C[z].
- Que veut-on dire quand on dit qu’un polynôme de degré n admet exactement n racines dans C en comptant les multiplicités ?
- Lien coefficient racines pour les polynômes de degré 3 et 4.
- Si f est un polynôme à coefficients réels et si alpha est une racine complexe de f alors le conjugué de alpha est aussi racine de f.
- Démontrer de deux façons différentes (algèbre et analyse) qu’un polynôme de R[x] de degré impair admet toujours au moins une racine réelle.
Les exercices de la planche 21 auront été à peu près tous traités.Planche21
La Planche22 n’est pas supposée connue, elle est en cours de travail.
Les notes de cours : plan-semaine-14
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