joffremp2

Bonjour,

voici le D.M. pour la rentrée sur la transformée de Laplace, avec plein de résultats classiques recoupant des choses déjà vues, donc vraiment bien pour asseoir tout cela.

DM9-2024-2025

Vous le retrouverez sur la page DM. La Q14 f) propose une méthode de solution du dernier exercice de la planche I3, différente de celle par IPP que j’avais suggéré à  Maeva et que peut-être elle voudra bien nous rédiger, comme super héroïne…

Dans l’immédiat bon Noël

rb

P.S. Je vais essayer de mettre assez vite le corrigé du DM 8 sur la page DM…

Semaine 14 du lundi 13  janvier : révision de toute l’analyse sur les suites,  séries de fonctions, et intégrales (chapitres S et I) et un petit peu de topologie.

La colle commencera par un exercice de la banque CCINP

• exercices 1 à 30 sauf l’ex 13,
• exercices 43 à 54 sauf l’ex 48 et l’ex. 52

Au total cela fait une quarantaine d’exercices c’est beaucoup ! Cela ne s’improvise pas. Cela Faites bien attention aux exercices sur les applications linéaires continues qui porte sur le cours fait récemment (ex. 1, 38, 54) et sont plus conceptuels.

Une fois cet exercice fait : un exercice  » inconnu »  encore sur suites/séries de fonctions ou intégrales (inconnu ou bien tiré des planches déjà faites !)  ou bien sur les applications linéaires continues et le calcul de la norme d’opérateur (nous avons fait les exercices 13 à 17 (le 14 seulement en partie) de la planche T2 ci-jointe.Planche-T2-2024-2025

Semaine 13 du lundi 6 janvier : intégrales à paramètres.

Pour ce qui est des trois  théorèmes du cours   :

• version à variable continue du théorème de convergence dominée,
• théorème de continuité pour les intégrales à paramètres
• théorème sur le caractère C^k des intégrales à paramètres

je cite le programme officiel :

« Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de régularité par rapport à x et de domination, sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux par rapport à t »

On a choisi néanmoins des les expliciter par prudence par rapport aux personnes examinatrices plus pointilleuses.. en hypothèse (H0) un peu triviale.

Le cours est fait autour de trois fils rouges : transformée de Laplace, transformée de Fourier et fonction Gamma.  Les exemples faits qui sont tous des exercice à savoir refaire (pas des résultats du programme) sont les suivants :

• Continuité de la TF (transformée de Fourier) d’une fonction intégrable
• Continuité sur ]0,+oo[ de la TL (transformée de Laplace) d’une fonction c.p.m.  bornée, extension à la variable complexe.
• Théorème de la valeur initiale pour la transformée de Laplace dans le cas facile d’une fonction bornée : L(f)(x)=f(0)/x+ o(1/x) quand x–>+oo.
• Lemme de Riemann-Lebesgue dans le cas facile où f est de classe C^1 et f et f’ sont intégrables :  F(f)(x) –>0 pour x–>+oo
• Caractère C^1 et dérivation de la TL du sinus cardinal sur l’ouvert ]0,+oo[ : application au calcul de cette Transformée.
• Calcul de la dérivée p-ième de la TF d’une fonction f  telle que pour tout k=0,1,..p, la fonction t-> t^k f(t) doit intégrable. (Si ceci est vrai pour tout p, on dit que la fonction est « à décroissance rapide »).
• Etude complète de la fonction Gamma : notamment justification soigneuse du caractère C^k et justifications pour le tracé du graphe.
• REVOIR les techniques de calculs d’intégrales et de primitives (1ère année, planche I1).
• Bien savoir aussi dériver si x est dans les bornes des intégrales (1ère année… et pas que..)

Sur la Planche-I3-2024-2025  ci-jointe, on a traité les exercices de 2 à 9 sauf le 6.

On pourra commencer les colles, outre les questions de cours, par une  question de détermination de rayon de convergence.

Dans le cours :

• Lemme d’Abel, dém. et (prop.-)-définition du rayon de convergence.
• Test  de d’Alembert pour les séries entières : dém. avec d’Alembert  pour les séries numériques laissée en exercice en cours, mais faite sur les exemples des séries lacunaires ensuite en exercices.
• Prop. :   ont même rayon de convergence (au programme officiel pour alpha=1, démontrée, pour pas plus cher pour alpha qcq donc je pense qu’on peut s’en servir pour alpha quelconque).
• Rayon de convergence d’une somme et produit de Cauchy.
• Continuité de la fonction somme dans le disque ouvert de convergence.
• Pour ce qui la variable est réelle :
  • Théorème de continuité radiale d’Abel :  énoncé seulement, mais savoir l’appliquer  sur des exemples (série harmonique alternée…)
  • Dérivation terme à terme automatique pour les sommes de séries entières à l’INTERIEUR de l’intervalle de convergence.
  • unicité des coefficients du D.S.E., série de Taylor, rigidité des fonctions D.S.E.
• DSE des fonctions usuelles : preuve de la formule du binôme (1+x)^a pour a réel avec la méthode de l’E.D. ou avec une formule de Taylor au moins pour x>0.
• Banque CCINP cf haut de la planche. Planche-S3-2024-2025 Nous avons traités les exercices 1 à 9 et 11, 12, nous traiterons au moins jusqu’au 14.

Bon courage à tout le monde pour cette dernière semaine avant les vacances

rb

Suites d’intégrales : convergence dominée et  et série d’intégrales et intégration terme à terme.

D’abord révision du programme précédent, notamment toujours soigner les justifications d’intégrabilité ou de convergence de l’intégrale.

Beaucoup de « Questions de cours » possibles :

• Citer très précisément les deux théorèmes d’intégration d’une limite (celui avec  la CVU sur un segment vs le T.C.D. de Lebesgue) : lequel sait-on démontrer 🙂 ?
  • Donner un exemple d’une suite de fonctions (f_n) qui Converge Uniformément  sur un intervalle I (non borné) vers une fonction f et telle que l’intégrale sur I des f_n ne converge PAS vers l’intégrale sur I de f (étalement de la bosse : un dessin peut suffire, une fois transformé en fonction affine par morceau).
• Application du T.C.D. avec des « bornes variables »  exemple de la limite de
• Etude des intégrales de Wallis : détermination d’un équivalent. Toutes les étapes (relation de récurrence, invariant, encadrement) doivent être mémorisées.
  • Méthode l’I.P.P fait sortir le terme prépondérant pour un équivalent, si f(1) non nul, de :
• Le même équivalent par la méthode de changement de variable.
• Intégration terme à terme d’une CVU sur un segment :
  • • application aux séries entières,  comment obtenir le D.S.E. de ln(1+x) à partir de celui de 1/(1+x) sur ]-1,1[.
    •  application à la formule donnant les coefficients a_n et b_n d’une série trigonométrique  comme des intégrales sur sa somme (formule des coeff. de Fourier).
• Théorème d’intégration terme à terme de Lebesgue en deux théorèmes : cas positif et cas signe quelconque. Donner des énoncés précis !  Dans la pratique, si on part d’une fonction déjà intégrable qu’on développe en série, il y a beaucoup moins de vérifications à faire que si la fonction dans l’intégrale n’a pas d’autre expression que cette somme de série.
• Ce qu’on fait quand le théorème ne s’applique pas (notamment en cas de Cv par théorème des séries alternées spéciales).
• Planche I2 :  tous les exercices de la planche ont été traités sauf le 10 qui est le frère du 9. Planche-I2-2024-2025
• Banque CCINP : pour réviser les séries de fonctions, ex. 14.1,14.2,15, 16,17. (en priorité par rapport à ceux marqués sur la planche I2 sur lesquels vous pouvez aussi vous entraîner).

Notion d’intégrale généralisée  convergente/divergente sur un intervalle I.

Notion d’intégrale absolument convergente et notion associée de fonction intégrable.

On commencera la colle par une étude d’intégrabilité de fonction à l’aide des théorèmes de comparaison : o, O, équivalents, majorations de l’intégrande .

Pour les étudiants : majoration toujours de la valeur absolue de l’intégrande !

Exemple d’intégrale semi-convergente : exemple sin(t)/t^a avec a dans ]0,1], expliquer la Cv et la non Cv absolue.

Pratique des IPP et changement de variables.

Théorème d’intégration des relations de comparaison, et méthode d’I.P.P. pour trouver des équivalents.

On attend un travail personnel de révision  des méthodes de CALCUL d’intégrales vues en 1ère année,  tableau de primitive à bien connaître, méthodes pour les fonctions rationnelles, ou trigonométriques … on pourra se tester aussi sur le verso de la planche I1 qui ne sera pas corrigé en classe.

Sur la banque CCINP : en plus des Ex. 25. 1), 28, 29.1 et 29.2) marqués en haut de la planche sur  les intégrales , on pourra aussi interroger sur les exercices 8,9, 10, 11 de la banque CCINP sur les suites et séries de fonctions.

Planche traitée  (ex 1 à 7 traités) : Planche-I1-2024-2025

Suites et séries de fonctions 

Convergence simple, uniforme, localement uniforme, uniforme sur tout segment, normale et théorème de régularités des limites C^0,C^1, C^p (avec valeur des dérivées..) ,  intégration sur un segment, interversion des limites (ou de la double limite), déclinés en version suites et séries.

Connaissance précise des théorèmes et application efficace des méthodes !

• On pourra demander un énoncé précis de théorème en début de colle.
• Démonstration du théorème de continuité d’une limite uniforme d’une suite de fonction continue.
• Démonstration du théorème d’intégration d’une limite uniforme  sur un segment.
• Le théorème d’interversion des limites a été admis.
• Exemple de la fonction zeta réelle : caractère C infini, ou limite à l’infini.
• Exemple de la suite de fonctions x-> n sin(x/n) méthode pour la CVU sur les segments et pourquoi on n’ a pas CVU sur R.
• Méthode d’encadrement par des intégrales pour un équivalent quand x->1 de la fonction zeta

Exercice de la Planche-S2-2024-2025 : on a traité les exercices  1 à 6 sauf le 5) c), le 8 et le 10.

Bonne semaine, désolé du retard de parution de ce programme.

 

Topologie : en plus du programme précédent :

• ouverts et fermés relatifs : définition d’un ouvert de A, d’un fermé de A, caractérisations (démo non exigibles mais énoncés à bien connaître).
• déf. de la continuité en un point et caractérisation avec les voisinages avec démonstration.
• caractérisation globale de la continuité : une seule implication est au programme officiel:  f est continue de  A  dans F alors  la préimage d’un ouvert de F est un ouvert de A (resp. d’un fermé) : démo. non exigible, par contre : savoir bien la mettre en oeuvre pour montrer que tel ensemble est ouvert ou fermé.
• Savoir justifier qu’une application donnée est continue : théorème d’opération, continuité des formes coordonnées, et donc des fonctions polynomiales ou rationnelles.
• Exercice : Justifier la continuité de l’application A -> A^{-1} de GL_n(K) dans lui-même.
• Définir ce qu’est un homéomorphisme et pourquoi l’image d’un ouvert par un homéo est un ouvert. Donner. un exemple de fonction continue bijective qui n’est pas un homéo.

Sur la Planche-T2-2024-2025   : les exercices de 1 à 12 sauf le 4, 5c) et 6 ont été traités. On a particulièrement insisté sur les exemples de topologie dans M_n(K).

Ne pas hésiter à donner des questions reliées à l’algèbre linéaire pour bien ancrer ces notions et bien sûr les exercices de la banque CCINP marqués en haut de planche T2.

PAS de Continuité des applications linéaires et de normes d’opérateurs cette semaine.

Elle est sur la page DM… il reste sûrement des coquilles ou imprécisions, merci de me les communiquer.

rb

Avec la 13 ème vidéo sur le site aujourd’hui j’ai fini cette présentation. Bon visionnage. Je mettrai aussi les pdf des photos des notes…. quand je les aurai toutes retrouvées 😦