joffremp2

 

Topologie : en plus du programme précédent :

• ouverts et fermés relatifs : définition d’un ouvert de A, d’un fermé de A, caractérisations (démo non exigibles mais énoncés à bien connaître).
• déf. de la continuité en un point et caractérisation avec les voisinages avec démonstration.
• caractérisation globale de la continuité : une seule implication est au programme officiel:  f est continue de  A  dans F alors  la préimage d’un ouvert de F est un ouvert de A (resp. d’un fermé) : démo. non exigible, par contre : savoir bien la mettre en oeuvre pour montrer que tel ensemble est ouvert ou fermé.
• Savoir justifier qu’une application donnée est continue : théorème d’opération, continuité des formes coordonnées, et donc des fonctions polynomiales ou rationnelles.
• Exercice : Justifier la continuité de l’application A -> A^{-1} de GL_n(K) dans lui-même.
• Définir ce qu’est un homéomorphisme et pourquoi l’image d’un ouvert par un homéo est un ouvert. Donner. un exemple de fonction continue bijective qui n’est pas un homéo.

Sur la Planche-T2-2024-2025   : les exercices de 1 à 12 sauf le 4, 5c) et 6 ont été traités. On a particulièrement insisté sur les exemples de topologie dans M_n(K).

Ne pas hésiter à donner des questions reliées à l’algèbre linéaire pour bien ancrer ces notions et bien sûr les exercices de la banque CCINP marqués en haut de planche T2.

PAS de Continuité des applications linéaires et de normes d’opérateurs cette semaine.

Elle est sur la page DM… il reste sûrement des coquilles ou imprécisions, merci de me les communiquer.

rb

Avec la 13 ème vidéo sur le site aujourd’hui j’ai fini cette présentation. Bon visionnage. Je mettrai aussi les pdf des photos des notes…. quand je les aurai toutes retrouvées 😦

Cinq premières vidéo d’une dizaine de minutes sont disponibles en lien sur la page compléments de cours. A suivre… N’hésiter pas à me poser des questions !

rb

Rebonjour,

J’avais fait des petites vidéo l’an dernier pour finir le cours du chapitre T1… qui commencent exactement à l’endroit où on s’est arrêté jeudi dernier. Je mets le lien Dropbox sur la page Plan de Cours et Compléments.

Chacune est très courte, je vous demande vraiment de faire l’effort de visionner ces vidéo à petite dose avec un stylo à la main pendant ces vacances. Les démonstrations et définition feront l’objet de QdC la semaine 7 ! Cela nous permettra de vite clôturer ce cours à la rentrée et d’avoir plus de temps pour les exercices. Vous avez aussi la page 5 et 6 du poly du cours au même endroit. (les vidéos correspondant  à la page 5, on fera la page 6 ensemble à la rentrée).

rb

Bonjour à tout le monde,

comme promis j’ai enrichi la page DM. D’abord une mini modif sur le DM 4 :

DM4-2024-2025 (version 20/10 : sur le conseil de J. PPW j’ai transposé la matrice A de la Q3 ii) :

et avec une remarque de Maeva j’ai changé irréductible en réductible Q11

Ce D.M. est à rendre le jour de la rentrée (tout le monde !).

Ensuite j’ai mis deux autres DM chacun pas trop long, un DM 5 pour une semaine après la rentrée mais qu’il serait mieux de travailler pendant les vacances surtout qu’il permet de réviser le DM 3 et un DM 6  pour deux semaines après la rentrée, un peu technique sur les normes N_p. Un autre post suit  à propos du cours sur les normes.

Tout sur  la réduction des endomorphismes (trigonalisation comprise, à tous les sens du terme), et révisions des programmes d’algèbre linéaire et d’algèbre générale précédents (en fait programmes 2 à 5).

Question de cours possibles  sur le troisième chapitre de réduction : 

• Trigonalisation : démonstration par récurrence du théorème qui dit qu’un endomorphisme ayant polynôme annulateur scindé est tz.
• Caractérisations des nilpotents en termes de v.p. dans C et autre (des équivalences très simples !)
• Les élèves doivent savoir conduire la trigonalisation concrète d’une matrice 2x 2, et d’une matrice 3 x 3  donnée et même la réduction sous forme de Jordan sur ces  exemples 2×2 et 3×3.
• Théorème de décomposition sur les s.e.v. caractéristiques : il donne une tz précisée : énoncé et démonstration.
• Planche-R3-2024-2025  : les seuls exercices qui n’ont pas été traités sont le 12 et le 14. 

Format de la colle : 

• Un exercice d’algèbre de la banque CCINP : 59, 60, 61 sauf 3), 62, 64, 65, 67 à 75 (sauf les deux systèmes différentiels au 74, 75), 83 à 91, 93, 94 (ne pas négliger les exercices sur l’arithmétique dans Z et sur les polynômes)

Pour les élèves : cela fait en gros  2 exercices de la banque à travailler par jour, l’un au petit déjeuner, l’autre au goûter… essayer de panacher pour par exemple faire un exercice de réduction de la banque par jour…

•  Une question de réduction qui peut encore être une QdC ci-dessus ou un exercice des planches R1, R2, R3 ou quelque chose de proche  mais aussi  bien un exercice inconnu.

Par commodité je  remets ici le lien pour les trois planches de réduction :

Planche-R3-2024-2025

Planche-R2-2024-2025

Planche-R1-2024-2025

bonnes vacances !

Elle se trouve sur la page DS… bon w.e.

Cette semaine, tout sur la diagonalisation, les polynômes caractéristiques, Cayley-Hamilton et bien sûr tout le programme précédents. Pas de trigonalisation encore cette semaine, merci.
Nous avons fait beaucoup d’exercices : tous ceux de la Planche-R2
ont été travaillés et corrigés en classe sauf l’ex 13 et 14  et peuvent être reposés en colle.
Penser aussi aux exercices de la banque CCINP marqués en début de planche R2 et questions suivantes :

• Calcul du polynôme caractéristique d’une matrice compagnon
•  Justifier que la multiplicité géométrique d’une v.p. est inférieure ou égale à sa multiplicité algébrique.
• Démonstration de Cayley Hamilton dans le cas particulier compagnon avec le calcul du polynôme minimal.

Pour les élèves  : pour les exercices de la banque CCINP, on y rencontre le théorème qui dit qu’une matrice symétrique réelle est toujours dz dans M_n(R), que nous n’avons pas encore fait dans ce cours et qui sera traité au moment de la réduction des endomorphismes d’un e.v. euclidien.

Planche-R2-2024-2025

Bonne semaine, les vacances ne sont pas loin !

Début de l’étude de la réduction des endomorphismes et de la  diagonalisation.

• Révisions sur les formules de changement de base, pour les vecteurs et les applications linéaires.
• valeurs propres, vecteurs propres : recherche à l’aide de l’équation aux valeurs propres sur des exemples en dim. finie ou infinie.
• caractérisation : lambda v.p. d’une matrice A ssi det(A-lambda I)=0, application aux v.p. des matrices de petites tailles et des matrices triangulaires
• Démonstration du fait que des s.e.v. propres associés à des v.p. distinctes sont en somme directe
• Si lambda est v.p. d’un endomorphisme L et si P est un polynôme alors P(lambda) est v.p. de P(L). Conséquence si P est annulateur de L, Sp(L) est inclus dans Z(P).
• Les v.p. de L sont exactement les racines du polynôme minimal de L.
• Théorème de décomposition des noyaux : démonstration pour un produit de deux polynômes. On sera spécialement attentif à la bonne compréhension des objets manipulés  : P(L)(x) et pas P(L(x)) et (PQ)(L)=P(L) o Q(L) etc…
• Savoir donner le maximum de caractérisations d’une matrice diagonalisable et la C.S. « n v.p. distinctes en dim. n  » mais en fait retenir surtout et pour chaque exercice  qu’il y a d’un côté le point de vue géométrique (avec les vecteurs propres et les sev propres)  et de l’autre côté  le point de vue algébrique (avec les polynômes annulateurs, le minimal) .
• Montrer que si f est dz, alors l’endomorphisme f_F induit par f sur un s.e.v. stable F est encore dz.

Pour les colleurs : ON NE PRONONCE PAS LE MOT  POLYNÔME CARACTERISTIQUE  CETTE SEMAiNE ET de condition de diagonalisabilité avec celui-ci.

Pas d’exercice de la banque CCINP cette semaine. Pour la planche seulement  les exercices 1 à 10. Planche-R1-2024-2025

Les exercices sur les matrices semblables sont conceptuellement  importants à retravailler : « semblable » se montre avec l’endomorphisme  canoniquement associé.

Pour la recherche des v.p. on a essentiellement travaillé les deux méthodes ‘det(A-lambda I)=0’ ou bien ‘AX=lambda X’ (eq aux v.p).  L’utilisation des polynômes annulateurs pour les vp et la dz  (exercice  13 et suivants) sera retravaillée plus concrètement en début de semaine, donc sur ce sujet rester très proche du cours.