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Il est sur la page DM et ici : DM12-2024-2025

Sujet niveau Mines mais qui compile plein de choses classiques sur l’exponentielle matricielle donc bonne révision et surtout complément sur ce sujet chapitres  D1, D2, R3… même si des choses sont difficiles n’hésitez pas à aller voir plus loin.

Pour la question des révisions : outre les proba comme je l’ai indiqué, prenez aussi le temps d’entretenir tous les théorèmes d’analyse  (Séries et Intégrales) et les pratiques techniques (DL, majorations) : voir les révisions des vacances de Noël. Pour l’algèbre linéaire, on l’a revu plus récemment mais c’est à vous de sentir vos besoins (entre faire plus d’analyse ou plus d’algèbre)

Vous pouvez aussi revoir des DM avec les corrigés (celui du DM 11 est sur la page DM).

Profitez bien de ce temps pour vous organiser, structurer vos connaissances,  tout en vous reposant un peu bien sûr !

Semaine 19 : lundi 3 mars.  début des probabilités et révision (notamment de probabilités, notamment avec les ex de la banque ccinp).

Sur les probabilités, nous n’avons fait qu’un chapitre théorique sur univers-tribu-probabilités, avec les résultats suivants à bien connaître :

• Définir ce qu’est une tribu et exemples simples sur la Planche-P1-2024-2025
• Qu’est-ce qu’une probabilité ? Démontrer la propriété de continuité croissante.
• Démontrer la sous-additivité dénombrable des probabilités (fait en exercice).
• Donner des propriétés de l’espace probabilisé  décrivant le jeu à pile ou face infini (où  l’existence de la proba est bien sûr admise)  : quelle tribu, comment montrer que la probabilité des singletons  est nulle.
• Dans l’exemple précédent donner un exemple de système quasi-complet d’événements (qui n’est pas « complet »).
• Définir ce qu’est une famille d’événements indépendants puis montrer que la formule sur la proba de l’intersection de ces événements se généralise à une famille infinie.
• Démontrer une famille pour la probabilité de l’Union de n événements A_i indépendants en fonctions des P(A_i).
• Enoncer les formules des proba composées et proba totales.

Donc pas de cours de deuxième année sur les variables aléatoires discrètes cette semaine MAIS on profite des vacances pour revoir tout le cours de 1ère année  sur les v.a. définies sur un univers fini (loi, espérance, variance). Cela rendra bien plus facile l’acquisition du cours de 2ème année. Après cette révision de cours, on demande de travailler et on pourra être interrogé sur les exercices correspondants de la banque CCINP : 

Ex 95, 98, 101, 104, 105, 107, 109, 112.

Autre révision recommandée : chapitre sur les séries entières.

Bonnes vacances mais aussi bonnes révisions (notamment en analyse)

Le corrigé du DS est sur la page DS, avec le sujet original.

Equations différentielles linéaires.

Bien connaître l’énoncé du Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire dans le cas vectoriel et son adaptation au cas scalaire.

L’objectif principal de la semaine  est la maîtrise des techniques de calculs notamment dans le cas des systèmes linéaires matriciels.

Il serait donc souhaitable  que la colle se concentre  en premier lieu sur  une question « calculatoire » d’un des type suivant :

Résolution d’un système linéaire X'(t)=A.X(t) avec A matrice constante 2×2 ou 3×3:

• • Cas où A est diagonalisable dans R
  • Cas où A est diagonalisable dans C et qu’on veut des solutions réelles
  • Cas où A est seulement trigonalisable : on a comparé la méthode d’une simple trigonalisation ou de la réduction sous les sous-espaces caractéristiques sur des exemples. (Pour les étudiants bien revoir le chapitre R3 de réduction).
  • IL serait INADMISSIBLE de ne pas savoir trigonaliser une matrice 3×3 cette semaine !! De même le calcul des vecteurs propres doit être efficace !
• Nous avons traités tous les exercices correspondants ex 5 à 8 de la Planche-D2 en plus de nombreux exemples du cours.  S’entraîner aussi avec ex 74, 75 de la banque CCINP.

Ensuite, on peut examiner la Résolution d’équations différentielles linéaires scalaires   d’ordre deux : la principale nouveauté, outre le théorème de Cauchy Lipschitz linéaire qu’il faut encore une fois bien énoncer, est:

•  la méthode de variations des constantes à l’ordre deux. Là encore on pourra vérifier que la méthode est bien apprise sur des exemples concrets (calculs avec aussi révisions des calculs de primitives).
• Ne pas oublier aussi la recherche de solutions particulières développables en séries entières, la technique est importante est doit être bien travaillée.

Nous n’avons pas eu le temps de traiter les exercices plus qualitatifs à ce stade, en revanche ,nous avons travaillé des exercices un peu plus théoriques sur l’exponentielle matricielle  (début de planche sauf ex 4 )qui pourraient faire des questions pour les élèves plus à l’aise en deuxième partie de colle.

Semaine 17 du lundi 3 février : un programme « mélangé »

Dans l’idéal, la colle pourra comporter (peut-être avec le 2) avant le 1)

1. Une question sur le programme précédent : endomorphismes d’un espace euclidien. La planche R4-bonus-decomp-matricielles suivante aura été traitée en partie.
2. Une question sur la dénombrabilité OU la dérivation des fonctions d’une variable réelle à valeurs vectorielles, comme illustré par la planche ci-jointe :Planche-P0-D1, avec comme questions de cours possibles pour la partie Dérivation :

• Trois définitions équivalentes de la dérivabilité pour f : I -> E (dém. non demandée)
• Dérivée de L o f si f est dérivable de I dans E et L est linéaire de E dans F (dém.)
• Dérivée de B(f,g) si f (resp. g) sont dérivables de I dans E  (resp. dans F) et B : E x F-> G est bilinéaire (dém.) 
• Extension du point précédent aux applications n-linéaires (typiquement déterminant) (pas de dém. juste la formule) 
• T.A.F. généralisé à deux fonctions  » f'(c) (g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a)) » démonstration vectorielle
• Dérivation de t-> exp(tA) par théorème de dérivation terme à terme à valeurs vectorielles (dém)
• Inégalité triangulaire pour les intégrales de fonctions vectorielles et application à l’I.A.F. dans l’hypothèse C^1.
• Formules de Taylor à savoir parfaitement

Et pour la partie dénombrabilité : 

• Cours: Montrer qu’une union finie ou dnb d’ensembles finis ou dnb est finie ou dnb
• Exercice (pour les motivé.e.s)  : montrer que {0,1}^N (où N est l’ensemble des entiers naturels) n’est pas dénombrable à l’aide de la construction diagonale.
• Cours: Définir ce qu’on appelle le développement décimal (resp. dyadique) propre respectivement impropre d’un nombre réel dans [0,1[ (l’impropre n’existant que pour les nombres décimaux, resp. dyadiques). 

Bonjour,

Un corrigé du DM 10 est en ligne sur la page DM (je dois encore le relire avec vos copies…)

Je rappelle que le délai pour le DM 11 est finalement jusqu’au lundi 10/02.

(Réduction des) endomorphismes d’un espace euclidien.

Un cours très riche qui demande un travail en profondeur :

• Définition de l’adjoint, écriture matricielle en b.o.n.
• Si F est un s.e.v. stable par u alors son orthogonal est stable par u*.
• Donner le plus de caractérisations possibles des isométries vectorielles avec dém de l’une d’elles au choix des colleurs..
• Donner le plus de caractérisations possibles des matrices orthogonales : attention déterminant =+- 1 n’est PAS une caractérisation de ces matrices !
• Montrer qu’une matrice orthogonale symétrique est une matrice de symétrie orthogonale et montrer que vous avez compris ce que chaque terme de cette phrase veut dire….
• Thme de classification de toutes les isométries vectorielles : énoncé, étapes de la preuve (sans prouver tous les lemmes utilisés, démo au choix parmi ces lemmes)
• Théorème spectral sur les  endomorphismes auto adjoints : étapes de la preuve (sans prouver tous les lemmes utilisés démo au choix parmi ces lemmes).
• Pour f dans L(E), justifier que f est entièrement déterminé par sa forme bilinéaire associée (x,y)-> (x|f(y)). Si f est auto adjoint alors cette forme bilinéaire, symétrique, est entièrement connue si on connait la forme quadratique (mot H.P)  q_f : x-> (x|f(x)), pourquoi  ? (formule de polarisation pour q_f). Ecriture matricielle de ces objets.
• Ecriture de la forme quadratique x-> (f(x)|x) dans une b.o.n. de dz. de f auto adjoint , application à une caractérisation de la plus grande et de la plus petite v.p. de f.
• Définition des autoadjoints positifs (resp. matrices symétriques positives) et caractérisation par le spectre.
• Nous avons pris  le temps de faire beaucoup d’exercices, presque toute la planche R4 ci-jointe. Planche-R4-2024-2025
• Exercices banque ccinp (non ‘exigibles’ mais si vous avez le temps pour réviser ) : ex 63, 66, 68, 78.

Le sujet avec son corrigé sont en ligne sur la page DS.

Révisions et compléments sur les espaces préhilbertiens et un peu d’approximation dans les espaces de fonctions.

• Définir le produit scalaire canonique de R^n, dans M_{m,n}(R) (deux expressions montrer qu’elles coïncident)
• Produit scalaire dans l^2(N,R) (justifier la convergence de la série…)
• Produit scalaire dans L^2,continue(I,R) (justifier la convergence des l’intégrale)
• (Les justifications des  exemples précédents n’ont pas tous été détaillés en classe ou bien ont été  faites dans d’autres chapitres (I1 pour L^2(I,R), ne pas hésiter à me demander en cas de pb).
• Expliquer pourquoi le p.s. est une application bilinéaire CONTINUE (savoir la caractérisation des appli. bilinéaires continues).
• Montrer que l’orthogonal d’une partie dense est réduit à {0}.  Application au ‘lemme des moments’ (Banque CCINP 48 même si le corrigé de la banque est formulé sans produit scalaire, voir la rédaction faite en classe !).
• Lemme de représentation de Riesz pour les formes linéaires d’un espace euclidien.
• Montrer que l’orthogonal d’une partie A de E est un s.e.v. fermé de E.
• Existence d’un supplémentaire orthogonal pour un s.e.v. de dim. finie d’un espace préhilbertien.
• Formule de calcul de la projection orthogonale quand on connait une base orthogonale de ce s.e.v. : applications sur des exemples, cas des sommes partielles de la série de Fourier de f.
• Le projeté orthogonal d’un vecteur v  sur un sev F est l’unique vecteur de F qui  minimise la distance entre v et les vecteurs de F.
• Mise en oeuvre de l’orthogonalisation de Gram-Schmidt sur des exemples.

On insistera sur les calculs de projections orthogonales qui doivent être bien compris

Pour les étudiantes et étudiants les plus à l’aise on peut aussi donner en second exercice un exercice sur l’approximation en norme infinie (théorème de Weierstrass démontré en T.D. par convolution avec approximation de l’identité).

sur la Planche-T3-2024-2025 ci-jointe, les exercices 1 à 3 n’ont pas été traités en classe. (La rédaction du 1 est très élémentaire car c’était un énoncé pour les 1ère année…)

Les exercices du type 5 et 6 sont vraiment très basiques et importants pour tout le monde !

Très  long sujet de Centrale PSI  2012, j’ai modifié l’ordre des questions à la fin pour mieux faire apparaître les deux points de vue distincts pour l’étude de l’E.D.

C’est ici DM9-2024-2025-sol et sur la page DM.