joffremp2

Une petite précision pour ce D.M. 13  : la première partie (à part sa dernière question spécifique à ce pb) est très classique, (et donc importante)  elle présente ce qu’on appelle les valeurs singulières d’un endomorphisme a (les v.p. de a¨*a), et la décomposition polaire de a (cf. planche de complément sur les décompositions matricielles).

En revanche la partie II est centrée sur la dim. 3 qui est visiblement passée de mode dans les programmes (dans lesquels il est marqué que la reconnaissance des éléments géométriques d’un élément de SO_3(R) n’est pas un attendu du programme). Je me disais au départ que c’était bien de manipuler une fois ces rotations pour de vrai, mais là c’est vrai que c’est très technique  dans le problème et sûrement du coup un investissement peu  intéressant pour les concours

. Pour la question II A2), il suffit de penser (c’était dans le cours avant) que :

J’aimerais bien que cela soit évident avec un dessin.

De même pour le II  A3) omega_k est un endomorphisme antisymétrique, comme je vous l’ai raconté en classe. La suite du DM à partir du II B devient vraiment trop technique… faites plutôt des proba 🙂

Voici une version modifiée du colloscope où les colles de français sont avancées d’une semaine pour les groupes 8 à 12 et celle du trinôme 7 est mise en semaine 23.

La colle de physique de M. Franco change de jour et d’horaire : 16h 15 le jeudi.

Bon début de semaine à vous,

rb

Semaine 18 : du lundi 6 février

Thème  : endomorphismes d’un espace euclidien. Révision du programme précédent avec en plus la réduction des autoadjoints. La notion d’autoadjoint positif et défini positif est revenue au programme. Le nouveau cours est bref mais demande beaucoup de précision (nombreuses confusions possibles sur le sens du mot positif ou celui du mot « symétrique »).

• Pour f autoadjoint, définir la forme bilinéaire symétrique associée à f (à savoir (x,y)-> (f(x)|y)), et la forme quadratique associée x->(f(x)|x). Chacun de ces trois objets détermine les autres : pourquoi ? (Formule de polarisation).
• Démontrer qu’un endomorphisme autoadjoint admet au moins une valeur propre (en se ramenant à la dim. 2).
• En admettant le résultat précédent, démontrer le théorème spectral pour les autoadjoints.
• Ecriture de la forme quadratique (mot H.P.) x-> (f(x)|x) dans une b.o.n. de dz. de f, application à une caractérisation de la plus grande et de la plus petite v.p. de f.
• Définition des autoadjoints positifs (resp. matrices symétriques positives) et caractérisation par le spectre.
• Déf. des autoadjoints définis positifs, caractérisation par le spectre, lien avec la notion de produit scalaire.
• Tous les exercices de la planche ont été traités sauf le 17 : Planche-R4

Pour bien ré-ancrer les habitudes liées à la réduction des endomorphismes, bien utiles ici aussi, on pourra revoir et être interrogés sur :

• Les exercices 10, 11, 12 de la Planche-R2
• Les exercices 4 à 8 et l’ex. 11 de la Planche-R3
• Ne pas négliger les calculs concrets : banque CCINP Ex. 68, et toujours des projections orthogonales (décidément mal comprises) CCINP Ex. 81,82, et des calculs de matrices de projections…

Bonne semaine, pendant ce temps, le cours de proba aura, j’espère,  le temps d’avancer suffisamment !

Bonjour,  j’avais oublié de mettre une solution du DS sur le site ce w.e. Voici celle qu’on trouve sur le site concours-maths cpge (ups) : DS5-2022-2023-E3A-2007-sol

DS5-2022-2023-E3A-2007 

Bonne journée

Semaine 17 : du lundi 30 janvier

Thème : endomorphismes d’un espace euclidien : début, attention pas de théorème de réduction des endomorphisme autoadjoint (resp. matrices symétriques) cette semaine.

Questions de cours :

• Définition de l’adjoint d’un endomorphisme et prop. de l’application u-> u*
• Si F est un s.e.v. stable par u, alors l’orthogonal de F est stable par u*
• La matrice de u* dans une b.o.n. est la transposée de celle de u
• Déf.  des isométries vectorielles et caractérisation par la conservation du produit scalaire et par f*=f^{-1}
• Caractérisation matricielle des isométries vectorielles et déf. des matrices orthogonale.
• Déterminant d’une matrice orthogonale. Donner une matrice de déterminant 1 non orthogonale.
• Une matrice orthogonale symétrique est une matrice de symétrie orthogonale.
• Thme de classification des matrices dans O_2(R).
• Thme de classification de toutes les isométries vectorielles : énoncé, étapes de la preuve.

On l’aura compris les héros de cette semaine sont l’adjoint et les automorphismes orthogonaux (=isométries vectorielles). Ne pas négliger aussi les normes d’opérateur comme vu sur la planche.  Les autoadjoints viendront la semaine prochaine. Sur la Planche-R4 les exercices 1 à 8 ont été faits en classe.

Banque CCINP Ex. 78 : intégralement dans le cours.

le DS des MP1 et MP2 a lieu en E100 et E105 exceptionnellement ce samedi en raison de la Journée Portes ouvertes. Merci de bien le noter

Rebonjour, voici une solution pour ces problèmes.

DM11-2022-2023-sol

DM11-2022-2023

Bonjour

voici la documentation Centrale bien pratique pour les questions de calculs matriciels avec Python pour le DM12 (que je vous donnerai en papier demain).

DM12-2022-2023

Python-matrices

Semaine 16 : du lundi 23 janvier

Thème : approximation dans les espaces de fonctions : norme infinie, norme euclidienne… et révisions, compléments  de première année  sur les espaces préhilbertiens.

« Question de cours » possibles :

• Citer le théorème d’approximation uniforme des fonctions c.p.m. par des fonctions en escalier et savoir l’appliquer pour démontrer le théorème de Riemann-Lebesgue sur un segment (thme H.P. mais à connaître aussi bien pour le résultat que pour la méthode).
• Citer le théorème d’approximation de Weierstrass  et montrer qu’on ne peut pas espérer une CVU sur R entier car si une suite de polynômes CVU sur R entier….
• Savoir refaire la Q3 et le « lemme de Dirac » du TD  : TD-Chap-T4-convolution-Weierstrass
• Espaces préhilbertiens : montrer que le produit scalaire (p.s.) est une forme bilinéaire continue.
• Exercice : lemme des moments :
• Savoir montrer:
• Donner des exemples de sev stricts denses dans deux espaces préhilbertiens différents.
• Calcul pratique de l’orthogonalisation de Gram-Schmidt : par exemple de (1,X,X^2) pour un p.s. intégrale.
• Formule du projeté orthogonal  sur F si on a une base orthogonale de F : calculs concrets.
• Théorème de meilleure approximation par le projeté orthogonal, dém (Pythagore)
• Applications concrètes de ce théorème de meilleure approximation pour la minimisation d’une intégrale…. et dans le cadre matriciel cf. Banque CCINP ex. 80, 81 et 82.
• Exercice de la Planche-T4: seuls les ex. 4,5,6,7 sont « exigibles ».

Semaine 15: du lundi 16 janvier

Thème : compacité, connexité par arcs et révisions de topologies des e.v.n.

On restera d’abord proche du cours avec des QdC ou de révisions (avec les exercices de la banque CCINP ci-dessous).

Pour les plus à l’aise, on pourra s’essayer à des exercices y compris reliés à l’algèbre linéaire…  (revoir dans ce cas les exercices de la planche T2 sur la topo. matricielle).

Questions de cours possibles :

• Montrer le théorème de Bolzano-Weierstrass (B.W.) dans C en admettant le résultat dans R.
• Montrer qu’un compact de E est fermé borné dans E.
• Montrer qu’un fermé dans un compact est compact.
• Donner un exemple de fermé borné non compact (aussi exercice 13 banque CCINP sur ce sujet mais penser au cadre préhilbertien aussi).
• Montrer que l’image continue d’un compact est compacte.
• Théorème des bornes atteintes pour les fonctions d’un compact dans R.
• B.W. en dim. finie : les compact d’un e.v.n. de dim. finie sont les fermés bornés.
• Montrer qu’un s.e.v. de dim. finie est toujours fermé dans tout e.v.n.
• Parties connexes par arc (c.p.a.) de R?
• Image continue d’un c.p.a.
• Connexité par arc pour montrer qu’une fonction d’un intervalle I de R dans R  continue injective est strictement monotone.

Les exercices  sur la compacité de la  Planche-T3, ont tous été traités mais certains sont difficiles.

Par contre l’exercice sur les fonctions coercives doit être bien compris et adapté à des situations simples, y compris éventuellement en variable réelle. De même les questions de distances à un sous-ensemble, à un compact …

Révisions sur les e.v.n. : exercices sur les e.v.n. de la banque CCINP. Ex 13, 34, 35, 36, 37, 38, 44, 45.

Planches : Planche-T3, Planche-T2