Programme de colle de maths

Semaine 21 : du lundi 13 mars.

Thème principal  : fonctions d’une variable réelle à valeurs vectorielles.

Un cours où on apprend quand même quelques petites choses sur la dérivation..  avant le calcul diff qui entrera dans le vif du sujet.

Questions de cours :

  • Trois définitions équivalentes de la dérivabilité pour f : I -> E (dém. non demandée)
  • Dérivée de L o f si f est dérivable de I dans E et L est linéaire de E dans F (dém.)
  • Dérivée de B(f,g) si f (resp. g) sont dérivables de I dans E  (resp. dans F) et B : E x F-> G est bilinéaire (dém.)
  • Extension du point précédent aux applications n-linéaires (typiquement déterminant) dém. non demandée.
  • T.A.F. généralisé à deux fonctions  » f'(c) (g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a)) » démonstration vectorielle
  • Dérivation de t-> exp(tA) par théorème de dérivation terme à terme à valeurs vectorielles
  • Inégalité triangulaire pour les intégrales de fonctions vectorielles et application à l’I.A.F. dans l’hypothèse C^1.
  • Formules de Taylor à savoir parfaitement.

La Planche-F1 a été traitée en classe sauf les deux  derniers exercices qui le seront lundi.  On pourra aussi bien sûr aussi poser des exercices de révisions de première année sur la dérivation et le caractère C^k/D^k des fonctions à valeurs réelles.

Par exemple l’équivalence D^1 <-> admet un D.L. 1, le contre-exemple pour DL_2 n’entraîne pas D^2 ont été revus…, hypothèses de Taylor-Young etc…. et des exemples d’utilisations des formules de Taylor globales seront bienvenus.

Programme de colles pour la rentrée

Semaine 20 : du lundi 6 mars.

Thème : probabilité (tout !).

Les colles commenceront par un exercice de la Banque CCINP (num. 95 à 112) ce qui, pour les élèves, fait un exercice de proba à travailler par jour pendant les vacances ! On attend de l’efficacité sur ces exercices, qui ne doivent pas, malgré leur longueur, occuper toute la colle.

Tout le programme précédent est encore exigible, et on rajoute les points suivants :

  • Moments d’ordre r d’une v.a.d. : si X admet un moment d’ordre r alors X admet un moment d’ordre s pour tout s<r.
  • Calculs des variances des lois usuelles et notamment géométriques et Poisson et cas de loi binomiale comme sommes de v.a. indépendantes
  • Covariance, application à la variance d’une somme
  • Deux inégalités de Cauchy-Schwarz dans le contexte probabiliste, l’une avec la Covariance, l’une avec (X,Y)->E(XY)
  • Série et fonction génératrice :  deux définitions. La série génératrice détermine la loi
  • Fonction génératrice d’une somme de v.a.d. indépendantes application à la loi binomiale, à la somme de deux v.a. de Poisson indépendantes
  • Calcul de l’espérance (resp. de E(X^2)) en dérivant la fonction génératrice
  • Inégalité de Markov et de Tchebychev, application de la méthode du 1er moment ou 2ème moment pour l’étude de P(X=0).
  • Loi faible des grands nombres: énoncé et démonstration.

La Planche-P2 a été traitée entièrement sauf les exercices 10 et 11;

La Planche-P3 n’a été que peu traitée (ex 8-9 fait en TD) mais est un bon programme de travail pour les vacances, avec des exercices plus orientés sur les problèmes d’écrits.

DM3 ITC pour la rentrée

A première vue sur vos DS, il y a des confusions entre listes et dictionnaires…

  • Si L=[], on ne peut pas ensuite poser L[0]= »truc » alors qu’on peut le faire pour un dictionnaire.
  • Si D={« france »: [1,2,4], « angleterre » : [2,1,3]}, alors D[0] n’a aucun sens ! Si on veut parcourir un dictionnaire, on le parcourt sur les valeurs des clefs :  for element in D  et pas « for i in range(len(D)) « 

Savoir construire une liste correctement est fondamental…  voici un sujet où on ne manipule que des listes (les dictionnaires n’étaient pas au programme).

Il contient aussi les commandes de  manipulations de fichiers qui sont au programme et que vous devez donc connaître même si on est censé vous les redonner…

Pour ce qui est de la méthode d’Euler, cela vous fait un entraînement pour ce qui sera maintenant dans les sujets de physique.

DM3-ITC-2022-202

Je vous conseille par ailleurs de reprendre les exercices que nous avons fait sur les dictionnaires ce ne sera pas du luxe.TP1-Dictionnaires

Programme de colle semaine 19

Semaine 19 : du lundi 13 février.

Thème : probabilités, variables aléatoires discrètes (v.a.d.) (début).

D’abord un chapitre général sur univers-tribu-probabilités, avec quelques questions de cours importantes :

  • Définir ce qu’est une tribu et exemples simples sur la planche P1.
  • Qu’est-ce qu’une probabilité ? Démontrer la propriété de continuité croissante.
  • Démontrer la sous-additivité dénombrable des probabilités.
  • Donner des propriétés de l’espace probabilisé  décrivant le jeu à pile ou face infini (où  l’existence de la proba est bien sûr admise)  : quelle tribu, comment montrer que la probabilité des singletons  est nulle.
  • Dans l’exemple précédent donner un exemple de système quasi-complet d’événements (qui n’est pas « complet »).
  • Evénement  « A_n est  réalisé infiniment souvent »  décrit avec inter et union, premier lemme de Borel-Cantelli (exercice Planche-P1)

Chapitre sur les variables aléatoires discrètes:

  • Définition d’une v.a.d. : savoir vérifier les conditions de la déf. d’une v.a.d : exemple du temps d’attente de succès dans une suite de tirages de Bernoulli (v.a.d. de loi géométrique).
  • Caractérisation des v.a. géométriques par le caractère « sans-mémoire »
  • Convergence en loi de v.a. suivant B(n,lambda/n) vers P(lambda)
  • Indépendance des v.a.d. : déf. équivalentes (dém. non demandée).
  • Espérance des v.a. géométriques et de Poisson.
  • Propriété de l’espérance : formule de transfert, linéarité.
  • Calcul de l’espérance à l’aide des P¨(X>x).

Toute la planche P1 a été traitée. Planche-P1  Après ces QdC plus « théoriques », poser plutôt un exercice « concret » éventuellement de révision de première année comme les exercices de la fin de la planche P.1  et des exercices très simples sur les v.a.d.

La Planche-P2 sera travaillée en début de semaine.