Auteur : romainbondil

Bonne solution de Raphaël D. pour cet exercice de variations autour de la formule de Grassmann redémontré à l’ex8, et éventuellement sur la méthode de l’ex 8 (ou pas).

Le a) est vraiment conséquence directe de Grassmann.

Le b) est un plus subtil.

Méthode 1 (celle de Raphaël) : en choisissant bien les s.e.v. auxquels on applique la formule de Grassmann.

Méthode 2 : on généralise l’idée introduite dans la démonstration du Grassmann avec le théorème du rang à l’ex. 8.

c) Les deux méthodes du b) sont possibles. Raphaël a ainsi pu rependre sa méthode au c) avec une utilisation de Grassmann en cascade, saurez-vous le faire ? La méthode 2 se généralise assez immédiatement, et fait peut-être comprendre la condition donnée de manière plus intuitive ?

Remarque : Avec cet exercice, nous arrêtons pour cette semaine les solutions de cette planche.

Sauf erreur de ma part, nous avons tout corrigé sur cette planche sauf l’exercice 6, dont j’ai dit que le sens difficile venait de l’essoufflement de la suite des noyaux : peut-être quelqu’un(e) sera l’expliquer lundi ?

Bon week end !

Rebonjour,

cet exercice donne une démonstration vraiment très rapide, une fois bien comprise, de la formule de Grassmann avec le théorème du rang. Ceci illustre une fois de plus que le point de vue des applications linéaires du chapitre G est plus riche et plus souple que le point de vue des vecteurs seuls du chapitre D.

Une bonne rédaction de Ryan, qui a déjà beaucoup contribué, je publie directement une version tapée ici :

Remarque : pour un ensemble E quelconque, l’application i : E -> ExE, x -> (x,x) s’appelle souvent le « plongement diagonal » de E dans Ex E, c’est une bijection entre E et la diagonale de ExE.

Et maintenant la preuve de Grassmann, qui tient en fait en trois lignes mais je détaille beaucoup :

Bonjour, j’avais publié une solution du début du a) de cet exercice par Samy.

Voici une bonne solution complète par Manon. Noter bien qu’avec cet exercice, vous êtes armés pour faire la version plus abstraite Ex. 5 pl. 44.

Avec cette solution, la pl. 41 est complètement résolue, sauf erreur de ma part.

Bonjour,

Comme remarqué par e-mail par Vincent L, cet exercice est en fait un cas particulier de la remarque que nous avions faite après le c) de l’ex. 6 pl. 40.

Comme f^3=0 mais f^2 !=0, il existe un v dans E tel que f^2(v)!=0. Fixons un tel v, et considérons la famille (v,f(v),f^2(v)). Le résultat de l’ex. 6. c) pl. 40 dit que cette famille B=(v,f(v),f^2(v)) est libre. Comme B est une famille libre de trois vecteurs dans un e.v. de dim. 3, B est une base.

Dans cette base B, la matrice de f est celle demandé.

Remarque/question : quelle est la matrice de f dans la base (f^2(v),f(v),v) ?

Bonjour,

Une solution d’Alba pour cet exercice important qui permet de bien se familiariser avec les matrices nilpotentes

La propriété du produit des matrices TS dont Alba parle, c’est bien sûr que l’entrée (i,i) du produit AB avec A et B TS est simplement le produit A(i,i).B(i,i).

Pour la puissance k-ième cela donne A^k (i,i)=(A(i,i))^k.

Noter qu’il faudrait un autre nom de variable que n à priori car n est déjà la taille de la matrice. Mais en fait, ce n’est pas grave car l’indice r de nilpotence d’une matrice nxn est toujours inférieur ou égal à n, comme on l’a démontré déjà en exercice sur les endomorphismes nilpotents.

Au b), Alba utilise le résultat sur la propagation des rangées de zéros démontré à l’exercice 2 : il faudra une ou un volontaire pour rédiger cet exo (j’ai une rédaction de Jean, mais Jean a déjà contribué, il faut une nouvelle personne). Voici ce que cela donne :

Cela dépend comme on numérote les diagonales : avec les notations de l’ex. 2. la diagonale principale s’appelle diagonale 0, et pour A^2 c’est donc la première diagonale supérieure qui s’annule donc pour A^k, ce sont les k diagonales supérieures de numéro 0 à (k-1).

Par ailleurs on ne parle pas de la ‘dimension’ de A, on garde le mot dimension pour les e.v. On parle de la taille par exemple.

Pour le c) pas de problème :

Noter que le contre-exemple d’Alba est fabriqué avec les matrices E_{1,2} et E_{2,1}.

Toujours essayer les E_{i,j} ce sont des usines à contre-exemple !

Cet exercice aborde le problème d’existence d’une « racine carrée pour la composition » pour certaines applications linéaires. Notez que nous nous sommes posés des questions analogues pour certaines fonctions (continues) de R dans R sur les planches du chapitre F1.

Le a) concerne la dérivation des polynômes, voici la bonne solution de Nizar, qui utilise la propriété de la suite des noyaux établie dans l’exercice 5 corrigé par Johanna.

Là, Nizar redémontre ce qu’a fait Johanna donc je ne le reproduis pas, mais c’est bien sûr nécessaire pour faire les exercices de manière autonome.

Le b) montre que sur un autre espace vectoriel, en l’occurence la droite vectorielle engendrée par une fonction de type x-> exp(a.x), la dérivation admet une racine carrée pour la composition. En fait, ce n’est pas bien sorcier, car sur cette droite vectorielle, la dérivation agit comme une homothétie (on dit que cette droite D est une droite propre de l’opération de dérivation cf DM 14) , et c’est assez facile de voir ce que c’est la racine carrée, pour la composition, d’une homothétie. Pour le cas réel, on prend a >0.

Voici la rédaction de Nizar là-dessus.

Il faut ici faire TRES attention aux notations !! Dans la fin de la rédaction de Nizar, la notation f désigne un opérateur (une application linéaire) de E dans E. Alors qu’au début de cette même question il désigne par f un élément E…

Il aurait peut être été préférable, pour que tout le monde comprenne, de dire par exemple : T : E-> E, f -> sqrt(a) f est tel que T^2=D.

Nous nous étions arrêtés après les quatre premiers exercices de cette planche.

Voici une belle solution par Johanna, très bien rédigée, pour l’exercice 5 qui est un grand classique, à bien connaître aussi bien pour son résultat que pour ses méthodes. Bien noter les différentes étapes de la solution au b).

D’abord elle montre par l’absurde que la suite des noyaux ne peut pas être indéfiniment strictement croissante.

Mais ensuite ce n’est pas fini : le résultat essentiel de cette question c’est que dès que la suite des noyaux fait une pause elle s’arrête définitivement !

Bonus : on peut montrer, mieux, ce n’était pas dans l’énoncé de l’exercice, mais c’est aussi un résultat important au niveau supérieur pour cette théorie, que la suite des noyaux « s’essouffle » c’est-à-dire fait des pas de plus en plus petit, précisément que la suite des dim Ker u^{i+1}-dim Ker u^i est décroissante. (Attention, vous l’aurez sûrement en colle pour certains à la rentrée :-). Remarquer aussi que ce résultat d’essoufflement donne aussi le sens « difficile » de l’exercice 6 donc cela peut être rentable pour d’autres exercices. 🤗

Pour le e) vous noterez la ressemblance avec l’exercice 4 : en fait avec les notations de Johanna l’exercice 4 est le cas particulier N=1.

Le Pl. 41. Ex 7 b) étant un redite de l’ex. 6., voici un extrait du sujet de l’E.N.A.C. de cette année (vous savez cette école qui n’existera que tant que les gens n’auront pas compris que dans l’objectif du réchauffement à 2° C un SEUL aller retour aux U.S. en avion épuise la TOTALITE de vos émissions autorisées de CO2 pour une année) :

Extrait du cours de Jean-Marc Jancovici à l’école des Mines, excellent cours qui donne par ailleurs une idée de que ce que peuvent être certains aspect de la formation d’un ingénieur https://jancovici.com/publications-et-co/cours-mines-paristech-2019/cours-mines-paris-tech-juin-2019/

Bon il y a des gens qui pensent à ce qu’on peut faire pour le trafic aérien (le plus important étant quand même de le réduire ) voir par exemple sur la même source https://theshiftproject.org/article/quelle-aviation-dans-un-monde-contraint-nouveau-rapport-du-shift/

Une solution qui m’a l’air bien soignée sur les indices, due à Evan, bravo à lui.

Avec d’abord une petite partie pédagogique pour voir où on va …

Une version tapée, une peu abrégée :

Puis une méthode 2 ‘géométrique’, j’aimerais bien savoir si vous y comprenez quelque chose, mais il faudra y revenir de vive voix: la question importante qui est derrière est

Que représentent les blocs géométriquement pour l’A.L. canoniquement associée ?

A part cela, je pense que cette rédaction va vous noyer mais garder la question précédente en tête pour la semaine prochaine.

Un exercice où Jean s’est beaucoup battu avec ténacité contre les indices, voici sa solution suivie de la même idée tapée pour que vous y voyiez peut-être plus clair, avec une petite correction sur la puissance du (-1) à la fin par rapport à Jean :

Méthode 2 (Cyprien) : pas complètement aboutie chez ce dernier mais bon point de départ que je développe ici (pour changer un peu on divise par b au lieu de a ce qui change un peu l’ordre des cas mais rien de plus).