Auteur : romainbondil

Programme de colle semaine 9

Semaine 9 : du lundi 21 novembre :

Suites et séries de fonctions :

Convergence simple, uniforme, uniforme sur tout segment, normale et théorème de régularités des limites C^0,C^1, C^p (avec valeur des dérivées..) ,  intégration sur un segment, interversion des limites, déclinés en version suites et séries.

Connaissance précise des théorèmes et application efficace des méthodes !

Penser à bien réviser aussi les techniques de base pour l’étude de limites de suites et de séries pour la CV Simple !

  • On pourra demander un énoncé précis de théorème en début de colle.
  • Démonstration du théorème de continuité d’une limite uniforme d’une suite de fonction continue.
  • Démonstration du théorème d’intégration d’une limite uniforme  sur un segment.
  • Le théorème d’interversion des limites a été admis.
  • Exemple de la fonction zeta réelle : caractère C infini, limite à l’infini
  • Exemple de la suite de fonctions x-> n sin(x/n) méthode pour la CVU sur les segments et pourquoi on n’ a pas CVU sur R
  • Méthode d’encadrement par des intégrales pour un équivalent quand x->0 de la somme des exp(-x sqrt(n)).

Exercice de la Planche-S2 : les  ex 1 à 6 a)  ont été traités en classe, donnent un bon échantillon des méthodes de base.

Une coquille DM6

Dans l’indication de la question 9 d) du DM 6, s et t ont joué à s’échanger :  la voici corrigée (à la fin c’est x/t et y/s et pas x/s et y/t comme écrit initialement). Pour les 5/2 la méthode pour cette question est la même que dans l’exercice fait l’an dernier où l’on montre qu’une application vérifiant les deux premiers axiomes des normes et pour laquelle les boules sont convexes vérifie aussi l’I.T. et donc est une vraie norme.

Programme de colle semaine 8

Semaine 8 : du lundi 14 novembre :

Topologie : en plus du programme précédent :

  • ouverts et fermés relatifs : définition d’un ouvert de A, d’un fermé de A, caractérisations (démo non exigibles).
  • déf. de la continuité en un point et caractérisation avec les voisinages avec démonstration.
  • caractérisation globale de la continuité : f est continue de  A  dans F ssi la préimage d’un ouvert de F est un ouvert de A (resp. d’un fermé) : démo. non exigible, par contre : savoir bien la mettre en oeuvre pour montrer que tel ensemble est ouvert ou fermé.
  • Savoir justifier qu’une application donnée est continue : théorèmes d’opérations, continuité des formes coordonnées, et donc des fonctions polynomiales ou rationnelles.
  • Une fonction à valeur dans K^n est continue ssi ses composantes le sont (dém).
  • Justifier la continuité de l’application A -> A¨^{-1} sur GL¨_n(K).
  • Définir ce qu’est un homéomorphisme et pourquoi l’image d’un ouvert par un homéo est un ouvert.
  • Montrer que x-> d(x,A) est 1 -lipschitzienne.
  • Caractérisation de la continuité des applications linéaires : 5 conditions, avec dém.
  • Définition de la norme d’opérateur (trois formules équivalentes).
  • Si l’espace de départ est de dim. finie toute application linéaire est continue (dém).
  • Calcul pratique de cette norme sur des exemples (cf. ex CCINP 38).

La planche T2 a gagné un verso : Planche-T2  On pourra poser comme exercice « connu » un exercice de topologie matricielle ex. 7 à 10 ou l’ex. 16. Les autres seront corrigés en début de semaine.

Banque CCINP : Ex 35, 36, et une des trois questions de l’ex. 38.