Auteur : romainbondil

Colles de Maths semaine 11

Semaine 11 : du lundi 5 décembre :

Suites d’intégrales : convergence dominée et intégration terme à terme.

D’abord révision du programme précédent, notamment toujours soigner les justifications d’intégrabilité ou de convergence de l’intégrale.

Pour les colleurs : une nouveauté cette année, le théorème d’intégration terme à terme dans le cas des intégrales de fonctions POSITIVES, avec hypothèses simplifiées (Beppo-Levi), qui simplifie donc la rédaction.

« Questions de cours » possibles :

  • Exercice : Montrer que si I est BORNE et (f_n) est une suite de fonctions L^1 sur I qui CVU sur I vers une fonction f c.p.m. alors f est L^1 et la suite des intégrales des (f_n) CV vers celle de f (généralisation du théorème connu sur les segments au cas borné).
  • Donner un exemple où le résultat précédent n’est PAS vrai avec I un intervalle non borné. Expliquer le problème.
  • Application du T.C.D. avec des « bornes variables »: Capture d’écran 2022-12-02 à 14.34.20
  • Etude des intégrales de Wallis : détermination d’un équivalent
  • Méthode l’I.P.P fait sortir le terme prépondérant pour un équivalent  (si f(1) non nul) de : Capture d’écran 2022-12-02 à 14.37.42
  • Le même équivalent par la méthode de changement de variable.
  • Intégration terme à terme d’une CVU sur un segment :
      • application aux séries entières :        montrer que :      Capture d’écran 2022-12-02 à 14.41.32
      •  applications aux séries trigonométriques (très important car H.P. mais dans tellement de sujets d’écrits de maths et dans le cours de physique)                 Capture d’écran 2022-12-02 à 14.41.52
  • Théorème d’intégration terme à terme de Lebesgue en deux théorèmes : cas positif et cas signe quelconque.   Exemple du second cas  :
  • Capture d’écran 2022-12-05 à 12.16.17
  • Ce qu’on fait quand le théorème ne s’applique pas. Exemple  : Capture d’écran 2022-12-02 à 14.47.11
  • Planche I2 : les exercices 1 à 4 ainsi que le 6 ont été fait en classe cette semaine. D’autres seront corrigés lundi. Planche-I2

Programme de colle semaine 10 :

Semaine 10 : du lundi 28 novembre :

Intégrales  (des fonctions continues par morceaux) sur un intervalle quelconque :

Notion d’intégrale convergente/divergente

Notion d’intégrale absolument convergente et notion associée de fonction intégrable.

On commencera la colle par une étude d’intégrabilité de fonction à l’aide des théorèmes de comparaison : o, O, équivalents, majorations de l’intégrande.

Pour les étudiants : majoration toujours de la valeur absolue de l’intégrande !

Exemple d’intégrale semi-convergente : cas de sin(t)/t^a avec a dans ]0,1], expliquer.

Théorème d’intégration des relations de comparaison, et méthode d’I.P.P. pour trouver des équivalents.

Révisions intensives des méthodes de CALCUL d’intégrales, tableau de primitives  à bien connaître, méthodes pour les fonctions rationnelles, ou trigonométriques …

Pour les colleurs : pas de théorème de Lebesgue cette semaine .

Planche : Planche-I1 : seulement les ex1 et 2 ont été traités en classe pour l’instant, mais ils donnent bien le ton de style d’exercice  par lesquels les colles pourront commencer.

Bonne semaine à tous.

rb

Journée avec les intégrés

Les anciens Joffriens intégrés viendront vendredi prochain, le 2 décembre.

Dans un premier temps, les stands de 11h30 à 15h auront lieu en :

– salle E105 pour les écoles des concours Mines Ponts et X-ENS–

-salle E100 pour toutes les centrales

-salle Eureka pour les écoles du concours CCINP, Universités
Puis, les anciens passeront dans les classes de première année de 15 à 16, puis à partir de 16h dans les classes de deuxième année donc pour les MP2 à 16h en P104 !