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Semaine 6 du lundi 2 novembre : séries numériques
Beaucoup de révisions de première année. Notamment on attend une très bonne maîtrise des développements limités et asymptotiques aussi bien avec des o( ) que des O(), sachant que O(1/n^2) et ses frères O(1/n^a) avec a>1 sont nos meilleurs amis.
Donc il serait bon que la colle débute par un exercice sur la nature d’une série où il s’agit essentiellement d’utiliser un développement asymptotique du terme général, soit dans le cadre de la convergence absolue, soit dans le cadre du signe variable.
Outre cela, question de cours possibles
- Déf précise des relations de comparaison o,O,équivalence
- Prop. si la série de t.g. (u_n) converge alors (u_n) tend vers zéro (dém).
- Test de d’Alembert : conclusion d’abord en terme de comparaison à une suite géométrique, et conséquence en terme de séries.
- Méthode d’encadrement par des intégrales, application à la nature des séries puis aux équivalents de sommes partielles de série DIV, de restes de séries CV.
- Théorème de sommation des relations de comparaison, un énoncé très précis est attendu. Dém d’un cas au choix de l’étudiant, dans le cas CV ou DIV au choix de la personne qui interroge.
- Dém. du théorème de Cesaro comme conséquence du théorème précédent.
- Lien suite/série : la suite (u_n) cv ssi la série de t.g. u_{n+1}-u_n Cv. Application au développement asymptotique H_n=ln(n)+gamma+o(1)
- Amélioration de ce qui précède à l’aide du théorème de sommation des relations de comparaison : un terme de plus dans ce dév. asymptotique.
- Problème du regroupement par paquets : paquets d’effectif fixé et terme général tendant vers zéro dans le cas des séries de signe quelconque. Comment retrouver la convergence de la série harmonique alternée.
- En exercice : différentes façons de calculer la somme de la série harmonique alternée.
- Révisions sur les familles sommables :
- on peut demander la déf. de la sommabilité, dans le cas positif et dans le cas signe qcq ou complexe, et de même pour la déf. de la somme.
- dans le cas des séries, la sommabilité équivaut à la convergence absolue et les deux notions de sommes coïncident (admis).
- énoncé du théorème de sommation par paquet, cas positif et cas signe quelconque, expliquer la différence
- exemples simples de calculs avec ce théorème comme la somme des 1/q^p et des (-1)^p/q^p.
- Cas des produits de deux sommes et notion de produit de Cauchy.
Sur la planche tous les exercices sauf le 13, 16 et 23 ont été corrigés.
