Série entières :
Dans le cours :
- Lemme d’Abel, dém. et (prop.-)-définition du rayon de convergence.
- Lemme de d’Alembert pour les séries entières : dém. avec le lemme pour les séries numériques.
- Prop. ;
ont même rayon de convergence (au programme officiel pour alpha=1, démontrée, pour pas plus cher pour alpha réel quelconque, démo « bonus » : ne pas pénaliser les étudiants que ne l’aurait pas bien maîtrisée en première semaine) - Rayon de convergence d’une somme
- Produit de deux sommes de séries entières , produit de Cauchy des coefficients.
- Continuité de la fonction somme dans le disque ouvert de convergence (dém).
- Pour ce qui est de la variable réelle :
- Dérivation terme à terme automatique à l’intérieur de l’intervalle de convergence pour les sommes de séries entières (dém !)
- unicité des coefficients du D.S.E., série de Taylor, rigidité des fonctions D.S.E. (dém.)
- application au caractère C^infini automatique de fonctions comme le sinus cardinal en 0.
- intégration et primitivation terme à terme automatique à l’intérieur de l’intervalle de Cv : application au D.S.E. de ln(1+x)
- théorème d’Abel radial (admis) ; savoir l’application pour montrer que la somme de la série harmonique alternée vaut ln(2).
- DSE des fonctions usuelles : preuve de la formule du binôme (1+x)^a pour a réel avec la méthode de l’E.D.
Sur la Planche-S3-2025-2026 : ont été travaillés les exercices 1,2, 3 a) (rayon de Cv), ex 9, 10 (calculs de sommes) et 11, 12, 13 (calculs de D.S.E.). On approfondira les autres exercices la semaine prochaine.
Sur la banque CCINP : les élèves doivent travailler au moins 4 exercices, leur demander lesquels ont été travaillés.
Bonne semaine !
joffremp2 